Symbolische Berechnung von 4x4 Determinanten

Symbolischer Online-Rechner Determinante 4x4

Der Online-Rechner berechnet symbolisch den Wert der Determinante einer 4x4 Matrix mit der Laplace Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte. Die Zeile oder Spalte nach der entwickelt wird, wird durch einen Pfeil angezeigt. Durch Anwählen kann die Spalte oder Zeile geändert werden.

Determinante

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$

Eingabe der Koeffizenten der Determinante

Ausdrücke werden der Übersichtlichkeit halber nicht automatisch geklammert. Daher müssen die Klammern explizit gesetzt werden. Nicht a+b sondern (a+b).

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₁₄=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₂₄=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

a₃₄=

a₄₁=

a₄₂=

a₄₃=

a₄₄=

Berechnung der Determinante mit Laplace-Entwicklung

Die Zeile oder Spalte die für die Entwicklung verwendet wird kann ausgewählt werden.

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz gibt ein Verfahren zur Berechnung der Determinante an, bei dem die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt wird. Dabei wird die Dimension reduziert und kann schrittweise immer weiter reduziert werden bis zum Skalar.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Entwicklung nach der j-ten Spalte )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Entwicklung nach der i-ten Zeile )}$

wobei A_ij die Untermatrix von A ist, die entsteht wenn die Zeile i und die Spalte j gestrichen werden.

Beispiel für die Laplace-Entwicklung nach der j-ten Zeile einer NxN Determinante.

In dem Beispiel wird eine NxN Determinante nach dem Laplacesche Entwicklungssatz auf (N-1)x(N-1) Determinanten zurückgeführt.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$

$=\pm a_{j1}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{12}& \dots & a_{1n}\\ & ⋮\\ a_{\mathrm{j-1}2}& \dots & a_{\mathrm{j-1}n}\\ a_{\mathrm{j+1}2}& \dots & a_{\mathrm{j+1}n}\\ & ⋮\\ a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\pm a_{j2}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ & ⋮\\ a_{\mathrm{j-1}1}& a_{\mathrm{j-1}3}& \dots & a_{\mathrm{j-1}n}\\ a_{\mathrm{j+1}1}& a_{\mathrm{j+1}3}& \dots & a_{\mathrm{j+1}n}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n3}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\pm \dots \pm a_{jn}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1\mathrm{n-1}}\\ & ⋮\\ a_{\mathrm{j-1}1}& a_{\mathrm{j-1}2}& \dots & a_{\mathrm{j-1}\mathrm{n-1}}\\ a_{\mathrm{j+1}1}& a_{\mathrm{j+1}2}& \dots & a_{\mathrm{j+1}\mathrm{n-1}}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{n\mathrm{n-1}}\end{array}\right|$

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