icon-Dreieck Mathe Tutorial: Trigonometrie

Trigonometrie

Rechtwinkliges Dreieck

Allgemeines Dreieck

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Trigonometrie

Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks (Seitenlängen, Winkelgrößen, Längen von Dreiecks­transversalen usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen. Als Hilfsmittel werden die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot). Vorläufer der Trigonometrie gab es bereits während der Antike in der griechischen Mathematik. Aristarchos von Samos nutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungs­verhältnisse zwischen Erde und Sonne bzw. Mond.

Rechtwinkliges Dreieck

rechtwinkliges-Dreieck

Definitionen

Die Seiten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen sind die Katheten. Die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite c ist die Hypotenuse. Betrachtet man den Winkel α so ist die Seite a die Ankathete und b die Gegenkathete.

Winkelfunktionen

sinα=cosβ=bc

cosα=sinβ=ac

tanα=cotβ=ba

Grad / Radiant

Winkel können in Grad (deg) oder Radiant (rad) angegeben werden. Der Vollkreis in Grad beträgt 360° in Radiant 2π. Entsprechend gelten folgende Umrechnungen.

Winkel (rad)=π180 Winkel (deg)

Winkel (deg)=180π Winkel (rad)

Winkelsumme

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Damit gilt im rechwinkligen Dreieck folgende Beziehung für die Winkel.

90=α+β

Allgemeines (schiefwinkliges) Dreieck

allgemeines-Dreieck

Definitionen

Wesentlich für die Berechnungen im allgemeinen Dreieck sind der Kosinus- und der Sinussatz sowie die Beziehungen der Winkelfunktionen.

Sinussatz

asinα=bsinβ=csinγ

Kosinussatz

a2=b2+c2-2bccosα

b2=a2+c2-2accosβ

c2=a2+b2-2abcosγ

Projektionssatz

c=acosβ+bcosα

Tangensformel

tanγ

=csinαb-ccosα

=csinβa-ccosβ

Winkelsumme

Die Winkelsumme im Dreieck beträt 180°.

180=α+β+γ

Umkreisradius r

r=s4cosα2cosβ2cosγ2

mit

s=12a+b+c

Inkreisradius ρ

ρ=s-as-bs-cs

Höhe hc auf c

hc=asinβ=bsinα

Fläche A

A=12absinγ

Heronische Flächenformel

A=ρs=ss-as-bs-c

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen

Reduktionsformeln (in Grad)

sin90°+x=cosx

cos90°+x=-sinx

tan90°+x=-cotx

cot90°+x=-tanx

sin180°+x=-sinx

cos180°+x=-cosx

tan180°+x=tanx

cot180°+x=cotx

Zusammhang der trigonometrischen Funktionen bei gleichem Argument

sinx2+cosx2=1

tanx=sinxcosx

Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen

sinx±y=sinxcosy±cosxsiny

cosx±y=cosxcosysinxsiny

tanx±y=tanx±tany1tanxtany

Rechner für Dreiecksberechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Die in den Abbildungen rot eingezeichneten Seiten bzw. Winkel werden aus den grün eingezeichneten Seiten und Winkeln berechnet.

Gegeben: Winkel und Gegenkathete

rechtwinkliges-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Winkel in Grad α =
Seite b =

Gegeben: Winkel und Ankathete

rechtwinkliges-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Winkel in Grad α =
Seite a =

Gegeben: Katheten

rechtwinkliges-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Seite a =
Seite b =
BMI-Rechner

Gegeben: Kathete und Hypotenuse

rechtwinkliges-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Seite a =
Seite c =

Rechner für Dreiecksberechnungen am allgemeinen (schiefwinkligen) Dreieck

Die in den Abbildungen rot eingezeichneten Seiten bzw. Winkel werden aus den grün eingezeichneten Seiten und Winkeln berechnet.

Gegeben: Zwei Seiten und ein Winkel

Allgemeines-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Winkel in Grad γ =
Seite a =
Seite b =

Gegeben: Zwei Winkel und eine Seite

Allgemeines-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Winkel in Grad γ =
Winkel in Grad β =
Seite c =

Gegeben: Drei Seiten

Allgemeines-Dreieck

Eingabe der bekannten Werte:

Seite a =
Seite b =
Seite c =

Beispiele für die Anwendung trigonometrischer Berechnungen

Im folgenden einige exemplarische Beispiele, die die Anwendung der trigonometrischen Formeln illustrieren.

Beispiel: Berechnung der Turmhöhe

Turmhoehe-berechnen

Das Beispiel zeigt, wie eine Höhe ermittelt werden kann, auch dann, wenn ein direkter Zugang nicht möglich ist.

Die Abbildung zeigt, dass aus zwei Positionen (P1, P2) die Sichtwinkel (α, γ) und der Abstand b der Positionen ermittelt wurden (Grün in der Abbildung).

Ein Dreieck wird aus P1, P2 und der Turmspitze gebildet. Von diesem allgemeinen Dreieck sind der Winkel α und die Seite b bekannt. Der Winkel γ' kann folgendermaßen berechnet werden:

γ'=180-γ

Der noch fehlende Winkel β kann ermittelt werden, da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt.

β=180-α-γ'=γ-α

Im nächsten Schritt wird der Sinussatz verwendet um die Seite a zu berechnen. Die Seite a ist eine gemeinsame Seite von dem allgemeinen Dreieck und dem rechtwinkligen Dreieck das aus a und der Höhe des Turms sowie der Grundlinie gebildet wird.

a=sinαbsinβ=bsinαsinγ-α

In dem rechtwinkligen Dreieck ist a die Hypotenuse und h die Gegenkathete des Winkels γ. Die gesuchte Höhe h läßt sich also mit der Winkelfunktion berechnen.

h=asinγ=bsinαsinγsinγ-α

Alternativ kann die Turmhöhe auch berechnet werden, wenn man zwei Gleichungen für die rechtwinkligen Dreiecke ansetzt. Das erste Dreieck ergibt sich aus P1 und dem Fusspunkt des Turms sowie der Turmspitze. Das zweite analog ausgehend aber von P2.

Es gilt:

tanγ=hx

und

tanα=hb+x

mit der unbekannten Strecke x von P2 zum Fusspunkt des Turms.

Umformen der Gleichungen ergibt jeweils:

x=htanγ

und

x=h-btanαtanα

Gleichsetzen der Gleichungen und Auflösen nach h ergibt die Lösung:

h=btanαtanγtanγ-tanα

Das die beiden Lösungen für h äquivalent sind kann man leicht nachweisen, indem man

tanα=sinαcosα

und

tanγ=sinγcosγ

ersetzt.

h=btanαtanγtanγ-tanα =bsinαsinγsinγcosα-sinαcosγ

Mit dem Additionstheorem

sinx±y=sinxcosy±cosxsiny

ergibt sich die obige Lösung.

Es ist also

h=btanαtanγtanγ-tanα =bsinαsinγsinγ-α

Rechner zur Berechnung der Turmhöhe

Eingabe der Sichtwinkel und des Abstands:

Winkel in Grad α =
Winkel in Grad γ =
Abstand b =

Beispiel: Kreuzpeilung

Kreuzpeilung-berechnen

Bei der Kreuzpeilung wird ein fester Punkt (z.B. ein Leuchtturm) von zwei Positionen aus angepeilt. Zwischen den beiden Peilungen (P1, P2) wird ein konstanter Kurs und eine konstante Geschwindigkeit gefahren. Dann kann aus den Peilungen der Abstand zum angepeilten Punkt bestimmt werden.

Die Abbildung zeigt, dass an zwei Positionen (P1, P2) die Sichtwinkel (α, γ) relativ zur Fahrtrichtung ermittelt wurden (Grün in der Abbildung). Die Seitenlänge b ergibt sich aus der Geschwindigkeit v und dem zeitlichen Abstand t der Messungen.

Ein Dreieck wird aus P1, P2 und dem angepeilten Punkt (Leuchtturm) gebildet. Von diesem allgemeinen Dreieck sind der Winkel α und die Seite b = v * t bekannt.

Der noch fehlende Winkel β kann ermittelt werden, da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt.

β=180-α-γ

Im nächsten Schritt wird der Sinussatz verwendet um die Seite a zu berechnen. Die Seite a ist ist der Abstand zum Messpunkt P1.

a=sinαbsinβ

Der Abstand zum zweiten Messpunkt wird analog berechnet.

c=sinγasinα

Beispiel: Messung einer unzugänglichen Strecke (Hansensche Aufgabe)

Hansensche-Aufgabe

Um eine unzugängliche Strecke zu vermessen werden Anfang und Ende der Strecke von zwei Punkten (P1, P2) aus angepeilt.

Die Abbildung zeigt, dass an zwei Positionen (P1, P2) die Sichtwinkel (α, β, γ, δ) auf Anfang und Ende der Strecke relativ zur Verbindungsachse der Punkte ermittelt wurden (Grün in der Abbildung). Der Abstand a der Messpunkte ist ebenfalls bekannt. Zu ermitteln ist die Länge der unzugänglichen Strecke d (Rot in der Abbildung).

In der Abbildung sind die zu berechnenden Zwischenwerte Blau eingezeichnet.

Der Winkel η kann ermittelt werden, da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt.

η=180-α-γ

Im nächsten Schritt wird der Sinussatz verwendet um die Seite c zu berechnen.

c=asinγsinη

Die Seite e wird auch mit dem Sinussatz berechnet.

e=asinδsinρ

Der Winkel ρ ergibt sich aus der Winkelsumme im Dreieck.

ρ=180-β-δ

Mit dem Kosinussatz kann jetzt die gesuchte Strecke d berechnet werden.

d2=a2+c2-2accosα-β

Beispiel: Kräftedreieck am Pendel

Kräftedreieck-Pendel

Die Zerlegung von Kräften in orthogonale Komponenten spielt in der Mechanik eine wichtige Rolle. In diesem Beispiel wird gezeigt, wie die Gewichtskraft mittels der Winkelfunktionen in zwei Komponenten zerlegt werden kann.

Die Abbildung zeigt ein Fadenpendel mit einer Masse am Ende des Fadens. Die Gewichtskraft Fg soll in Teilkräfte zerlegt werden. Die Kraft in Richtung des Fadens FZ trägt nicht zur Beschleunigung bei und es ist daher für die Bewegungsgleichung relevant die Kraft Fa zu Wissen.

Die Teilkräfte können, da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, direkt über die Winkelfunktionen angegeben werden.

Fa=Fgsinα

FZ=Fgcosα