icon-quadratische-Gleichung Mathe Online: Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

Der Online-Rechner berechnet die Lösungen quadratischer Gleichungen mit Lösungsweg.

Hier gehts zum Online-Rechner:

Rechenregeln:

Plot:

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion lautet:

y=x-xS2+yS

Dabei sind xS und yS die x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel. Der Scheitelpunkt bezeichnet das Minimum oder Maximum der Funktion je nachdem ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

Normalform

In der Normalform ist der Koeffizient vor x2 gleich 1.

Normalform der quadratischen Funktion mit den konstanten Koeffizienten p und q:

y=x2+px+q

Liegt die quadratischen Funktion in Normalform vor ist der Scheitelpunkt gegeben durch:

xS=-p2

yS=-p22+q

Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung und Anwendung des ersten Binoms:

x2+px+q=

x2+px+p22-p22+q=

x+p22-p22+q=

x--p22-p22+q

Rechner für die Umrechnung von der Normalform in die Scheitelpunktform

Eingabe der Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung:

p =
q =

Allgemeine Form

Allgemeine Form der quadratischen Funktion mit den konstanten Koeffizienten a, b und c:

y=ax2+bx+c

Liegt die quadratischen Funktion in der allgemeinen Form vor ist der Scheitelpunkt gegeben durch:

xS=-b2a

yS=-b24a+c

Umformung von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung und Anwendung des ersten Binoms:

ax2+bx+c=

ax2+bax+c=

ax2+bax+b2a2-b2a2+c=

ax2+bax+b2a2-b24a+c=

ax+b2a2-b24a+c=

ax--b2a2-b24a+c

Rechner für die Umrechnung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform

Eingabe der Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktion:

a =
b =
c =

Scheitelpunkt der Parabel

Die Bestimmung des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion erfolgt mittels der Ableitung der Funktion. Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung der Funktion verschwindet. Bei einer quadratischen Funktion ist das hinreichend für ein Minimum oder Maximum.

Die Ableitung der allgemeinen Form lautet:

y=2ax+b

Die Bedingung für einen Scheitelpunkt ist, das die Ableitung 0 ist.

2ax+b=0

Auflösen ergibt die x-Koordinate des Scheitelpunkts:

xS=-b2a

Einsetzen in die allgemeine quadratische Funktion liefert die y-Koordinate des Scheitelpunkts:

yS=-b24a+c