Quadratische Gleichungen

Allgemeine Darstellungen der quadratischen Gleichung

Grundform

Grundform der quadratischen Gleichung mit den konstanten Koeffizienten a, b und c:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

$mit a, b, c \in R und a \neq 0$

Normalform

Division durch den Koeffizienten a und Umbenennung der Terme $\frac{b}{a}$ und $\frac{c}{a}$ führt auf die Normalform der quadratischen Gleichung:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$mit p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} folgt die Normalform$

$x^{2} + p x + q = 0$

Allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung

Mittels Umformung und Anwendung der quadratischen Ergänzung kann die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung in Form der p,q-Formel angegeben werden:

Ausgehend von der Normalform der quadratischen Gleichung wird die Gleichung mittels quadratischer Ergänzung gelöst.

$x^{2} + p x + q = 0$

Ausgangspunkt für die allgemeine Lösung ist die Normalform der quadratischen Gleichung.

$x^{2} + p x = - q$

1. Subtraktion q

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q$

2. Erweiterung der Gleichung um ${(\frac{p}{2})}^{2}$ und Subtraktion dieses Terms, so dass die Gleichung tatsächlich nicht verändert wird.

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

3. Nach der Umformung steht auf der linken Seite der Gleichung ein Ausdruck, der dem 1. Binomischen Lehrsatz ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ entspricht.

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

4. Anwendung des Binoms führt auf einen quadratischen Ausdruck.

$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

5. Ziehen der Wurzel erlaubt dann die Auflösung der Gleichung nach x. Da die Quadratwurzel im allgemeinen eine positive und eine negative Lösung besitzt hat die quadratische Gleichung im allgemeinen auch zwei Lösungen x₁ und x₂.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

6. Ergebnis ist die sog. p,q-Formel zur Ermittlung der Lösung einer quadratischen Gleichung.

Die Lösungen lassen sich je nach Wert der Diskriminanten $D = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$ in drei Kategorien einteilen:

$D = 0$ : Es liegt genau eine reelle Lösung vor.

$D > 0$ : Es liegen zwei reelle Lösungen vor.

$D < 0$ : Es liegen zwei komplexe Lösungen vor.

Beispiel für eine quadratische Gleichung mit zwei reellen Lösungen

Das erste Beispiel hat zwei reelle Lösungen. Im folgenden ist der Lösungsweg zunächst mit quadratischer Ergänzung und danach mit der pq-Formel gezeigt.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Beispielgleichung

$x^{2} + 3 x = - 2$

Subtraktion des absoluten Terms

$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

Durch die Ergänzung um den Term ${(\frac{3}{2})}^{2}$ wird der Ausdruck zur ersten binomischen Formel erweitert.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

Erweitern des Faktors vor x verdeutlicht die binomische Struktur.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Nach der Umformung steht auf der linken Seite der Gleichung das 1. Binom.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Anwendung des ersten binomischen Lehrsatzes ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

Anwendung der Qudratwurzel ermöglicht die Auflösung der Gleichung nach x. Die Quadratwurzel hat im allgemeinen eine positive und eine negative Lösung.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

Umformen und Ausrechnen führt auf die beiden reellen Lösungen der quadratischen Gleichung.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Zu der Lösung gelangt mann auch indem man die Koeffizienten der Gleichung in die p,q-Formel einsetzt.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p und q sind durch die Koeffizienten zu ersetzten.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

Einsetzen von p = 3 und q = 2 ergibt die Lösung der Gleichung.

Beispiel für eine quadratische Gleichung mit zwei komplexen Lösungen

Das zweite Beispiel hat zwei komplexe Lösungen. Im folgenden ist der Lösungsweg zunächst mit quadratischer Ergänzung und danach mit der pq-Formel gezeigt.

$x^{2} + 1 = 0$

Beispielgleichung

$x^{2} = - 1$

Diese sehr einfache quadratische Gleichung lässt sich direkt Umformen.

$x_{1, 2} = \sqrt{- 1} = \pm i$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

Die Besonderheit liegt darin, dass die Diskriminante also der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist. Die Wurzel aus -1 wird mit i bezeichnet. Das i steht für imaginäre Einheit.

$x^{2} + 0 x + 1 = 0$

Zu der Lösung gelangt mann, indem man die Koeffizienten der Gleichung in die p,q-Formel einsetzt.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p und q sind durch die Koeffizienten zu ersetzten.

$x_{1, 2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - 1}$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

Einsetzen von p = 0 und q = 1 ergibt die Lösung der Gleichung.

Beispiel einer quadratischen Gleichung mit einer zweifachen Lösung

Das dritte Beispiel hat eine zweifache reelle Lösung.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Beispielgleichung

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 = - 4$

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x_{1, 2} = - 2$

Die Lösung durch quadratische Ergänzung führt auf eine Diskriminate mit dem Wert 0. D.h. es liegt eine zweifache Lösung vor mit +/- 0.

$(x + 2) (x + 2) = x^{2} + 4 x + 4$

$x_{1, 2} = - 2$

Aus der Produktdarstellung der Gleichung wird ersichtlich, dass es sich um eine zweifache Lösung handelt.

Anwendung der p,q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Die Anwendung der p,q-Formel erfordert, dass die quadratische Gleichung in der Normalform vorliegt. Sollte sie nicht so vorliegen läßt sie sich durch Umformungen in die Normalform überführen. Hier an einem Beispiel die erforderlichen Umformungen zur Normalform.

$2 x^{2} - 4 x + 6 = 2$

Beispielgleichung

$x^{2} - 2 x + 3 = 1$

Division durch den Faktor vor x²

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Subtraktion der rechten Seite

$x^{2} + (- 2) x + 2 = 0$

Unter Beachtung des Vorzeichens von p können p = -2 und q = 2 abgelesen werden.

Online-Rechner: Quadratische Gleichung

Der Online-Rechner berechnet die Lösungen quadratischer Gleichungen mit Lösungsweg.

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

Eingabe der Koeffizienten a, b und c:

↹#.000

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion lautet:

$y = {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}$

Dabei sind x_S und y_S die x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel. Der Scheitelpunkt bezeichnet das Minimum oder Maximum der Funktion je nachdem ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

Scheitelpunktform aus der Normalform:

In der Normalform ist der Koeffizient vor x² gleich 1.

Normalform der quadratischen Funktion mit den konstanten Koeffizienten p und q:

$y = x^{2} + p x + q$

Liegt die quadratischen Funktion in Normalform vor ist der Scheitelpunkt gegeben durch:

$x_{S} = - \frac{p}{2}$

$y_{S} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung und Anwendung des ersten Binoms:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Rechner zur Berechnung der Scheitelpunktform Online-Rechner Scheitelpunktform

Parabel

Die Lösungen der quadratischen Gleichung entsprechen den Nullstellen einer Parabel. Eine Parabel ist durch eine Abbildung der Form $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ definiert. Daraus folgt, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ den Nullstellen der Funktion f(x) entsprechen. Dort wo die Parabel die x-Achse schneidet liegen die Lösungen der Gleichung.

Je nach Lage der Parabel liegen zwei Nullstellen, eine Nullstelle oder keine Nullstellen vor. Sollte die Parabel die x-Achse nicht schneiden hat die zugehörige quadratische Gleichung komplexe Lösungen.

Interaktive grafische Darstellung einer Parabel Parabel Plot

Weitere Seiten

Liste weiterer Seiten:

Index Online-Rechner Quadratische Gleichung Parabel Plotter Determinantenrechnung Matrizenrechnung Lineare Gleichungssysteme