Rozkład normalny (gaussowski) Ploter

Rozkład normalny lub rozkład Gaussa (od nazwiska Carla Friedricha Gaussa) jest ważnym typem ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa w stochastyce. Jego funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest również nazywana funkcją Gaussa, rozkładem normalnym Gaussa, krzywą rozkładu Gaussa, krzywą Gaussa, krzywą dzwonową Gaussa, funkcją dzwonową Gaussa, dzwonem Gaussa lub po prostu krzywą dzwonową.

Rozkład normalny lub rozkład Gaussa jest zdefiniowany jako:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{{\sigma }^2}}$

Wykres tej funkcji gęstości ma kształt dzwonu i jest symetryczny wokół parametru μ jako środka symetrii, który reprezentuje również wartość oczekiwaną, medianę i modę rozkładu.

Wykres funkcji rozkładu gaussowskiego

Za pomocą suwaków w dolnej części wykresu można zmieniać parametry rozkładu Gaussa. Regulowany zakres parametrów można określić w polach numerycznych. Czerwone punkty na krzywej dzwonowej można przesuwać. Całka z krzywej dzwonowej jest obliczana dla zakresu między punktami. Ponieważ całkowity obszar rozkładu Gaussa jest znormalizowany do jednego, całka odpowiada ułamkowi obszaru. Oznacza to na przykład, że jeśli punkty są ustawione na ±σ, obszar wynosi 0,68 lub 68% całkowitego obszaru.

⃢ 1:1 2:1 5:4 16:9 9:16 3:1

↹#.000

🔍↔

🔍↕

Parametr

μ =

σ =

Obszar

f(x)

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

f′(x)

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

σ

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

2σ

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

Obszar:

czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy brak 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Punkty:

o + * □ x czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl

Zakresy osi

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Zakresy parametrów

μ-min=

μ-max=

σ-min=

σ-max=

μ i σ są parametrami rozkładu normalnego. W μ znajduje się środek rozkładu, a krzywa dzwonowa osiąga tam maksimum. Punkty przegięcia funkcji znajdują się w odległości ±σ od środka symetrii.

W przypadku zmiennych losowych o rozkładzie normalnym obowiązuje następująca zasada:

• W przedziale odchylenia ±σ od wartości średniej μ znajduje się 68,27% wszystkich zmierzonych wartości
• W przedziale odchylenia ±2σ od wartości średniej μ można znaleźć 95,45% wszystkich zmierzonych wartości
• W przedziale odchylenia ±3σ od wartości średniej μ można znaleźć 99,73% wszystkich zmierzonych wartości

• 50% wszystkich zmierzonych wartości ma odchylenie nie większe niż 0,675σ od wartości średniej μ
• 90% wszystkich zmierzonych wartości ma odchylenie nie większe niż 1,645σ od wartości średniej μ
• 95% wszystkich zmierzonych wartości ma odchylenie nie większe niż 1,960σ od wartości średniej μ
• 99% wszystkich zmierzonych wartości ma odchylenie nie większe niż 2,576σ od wartości średniej μ

Dopasowanie rozkładu Gaussa do zmierzonych wartości

⃢ 1:1 2:1 5:4 16:9 9:16 3:1

🔍↔

🔍↕

Parametr krzywej gaussowskiej:

Zakres wartości dla osi

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Krzywa:

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

Punkty:

o + * □ x czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl

σ

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

2σ

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

3σ

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

50% Obszar

brak drobny wąski normalny gruba bardzo gruby xxl xxxl xxxxl czerwony czarny niebieski zielony magenta turkus żółty stopień limonkowy Linia ... - -- --- -- --- -- ---

Liczba punktów =

↹#.000

Alternatywnym sposobem wprowadzania danych jest wczytanie ich z pliku. Wartości mogą być oddzielone przecinkami, spacjami lub średnikami. Wartości muszą być podane parami x₁,y₁,x₂,y₂...

Załaduj z pliku:

Dopasowanie krzywej rozkładu Gaussa do zmierzonych wartości odbywa się poprzez obliczenie średniej ważonej zmierzonych wartości. Średnia ważona odpowiada wartości μ w rozkładzie Gaussa. Odchylenie standardowe zmierzonych wartości od średniej μ jest σ we wzorze rozkładu normalnego.

$$\mu =\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i}{\sum _{i=1}^n{y}_i}$$

$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2{y}_i}{\sum _{i=1}^n{y}_i}}$$

Wyświetlana krzywa dzwonowa jest dopasowanym rozkładem Gaussa pomnożonym przez obszar A zmierzonych wartości.

$f\left(x\right)=\frac{A}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{{\sigma }^2}}$

Obszar A jest obliczany za pomocą wzoru trapezowego.

$$A=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{\left(x_{i+1}-x_i\right)\left(y_{i+1}+y_i\right)}{2}$$

Drukowanie i zapisywanie obrazu

Wydrukuj lub zapisz obraz wybierając go prawym przyciskiem myszy.

Więcej stron na ten temat

Oto kilka kolejnych stron:

Treść ćwiczenia z matematyki

Trygonometria

Trygonometryczny

Matryca

Iloczyn wektorowy macierzy