Kalkulator pochodnych zwykłych i cząstkowych

Kalkulator pochodnych online oblicza pochodną funkcji względem x lub pochodną cząstkową względem x, y lub z, a także gradient 3d funkcji ze składowymi pochodnych cząstkowych względem x, y i z. Wyższe i mieszane pochodne można utworzyć przez dalsze zastosowanie funkcji pochodnych.

Pole wprowadzania funkcji do wyprowadzenia. Za pomocą 'ok' wprowadzona funkcja jest akceptowana. Za pomocą ∂/∂... można utworzyć odpowiednie pochodne. Wielokrotne użycie prowadzi do pochodnej poprzedniej funkcji.

f(...) =

cl

ok

Pos1

End

^dⁿ / _dxⁿ

^∂ⁿ / _∂xⁿ

^∂ⁿ / _∂yⁿ

^∂ⁿ / _∂zⁿ

grad(f) ∇f

7

8

9

/

Δ

x

y

z

4

5

6

*

Ω

a

b

c

1

2

3

-

μ

π

(

)

0

.

+

ω

sin

cos

tan

e^x

ln

x^a

^a / _x

^

σ

asin

acos

atan

x²

√x

a^x

^a / _x+b

|x|

δ

sinh

cosh

^a⋅x+c / _b⋅y+c

^a+x / _b+z

^z²-a²/ _z²+a²

^a / _x+b

^1+√y / _1-√y

e^xsin(y)cos(z)

√x+a

√e^a⋅x

e^{\sqrt{x}}

a e^{- b x^{2} + c}

\sqrt{e^{a x}}

a e^{b x + c}

e^{a x^{2}}

\frac{1}{e^{a x}}

\frac{x}{e^{x}}

Funkcja	Opis
sin(x)	Sinus
cos(x)	Cosinus
tan(x)	Tangens
asin(x)	Arcussinus
acos(x)	Arcuscosinus
atan(x)	Arcustangens
atan2(y, x)	Arcustangens z y/x
cosh(x)	Cosinus hyperbolicus
sinh(x)	Sinus hyperbolicus
pow(a, b)	Potencja a^b
sqrt(x)	Pierwiastek kwadratowy
exp(x)	e-Funkcja
log(x), ln(x)	Logarytm naturalny
log(x, b)	Logarytm do podstawy b
log2(x), lb(x)	Logarytm do podstawy 2
log10(x), ld(x)	Logarytm do podstawy 10

więcej ...

Zasady wyprowadzania w skrócie

Reguła czynnika: Stały czynnik jest zachowywany podczas różniczkowania

$(a \cdot f)' = a \cdot f'$

Reguła sumowania: Podczas wyprowadzania sumy, sumy mogą być wyprowadzane indywidualnie

$(f_{1} + f_{2})' = f_{1}' + f_{2}'$

Reguła produktu: Reguła wyprowadzania produktów

${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Reguła ilorazu: Reguła wyprowadzania ułamków

${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$

Reguła łańcuchowa: Podczas różniczkowania funkcje zagnieżdżone łączą się w iloczyn pochodnych.

$(f (g (x)))' = f' (g) \cdot g' (x)$

Elementarne pochodne:

$\frac{d}{d x} Const. = 0$

$\frac{d}{d x} x = 1$

$\frac{d}{d x} x^{n} = n \cdot x^{n - 1}$

Pochodna n-tego korzenia:

$\frac{d}{d x} \sqrt[n]{x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1 - n}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \sqrt[n]{x^{1 - n}} = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$

Pochodna pierwiastka kwadratowego:

$\frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$

Pochodna pierwiastka sześciennego:

$\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$

Pochodne funkcji trygonometrycznych:

$\frac{d}{d x} \sin (x) = \cos (x)$

$\frac{d}{d x} \cos (x) = - \sin (x)$

$\frac{d}{d x} \sin (k x)$ $= k \cos (k x)$

$\frac{d}{d x} \cos (k x)$ $= - k \sin (k x)$

$\frac{d}{d x} \tan (x)$ $= \frac{d}{d x} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ $= \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Pochodne funkcji e:

$\frac{d}{d x} e^{x} = (e^{x})' = e^{x}$

$\frac{d}{d x} e^{a x}$ $= (e^{a x})'$ $= a e^{a x}$

$\frac{d}{d x} e^{a x^{2}}$ $= (e^{a x^{2}})'$ $= 2 a x e^{a x^{2}}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{x}}$ $= (\frac{1}{e^{x}})'$ $= (e^{- x})'$ $= - e^{- x}$ $= - \frac{1}{e^{x}}$

$\frac{d}{d x} e^{\ln (x)}$ $= (e^{\ln (x)})'$ $= (x)'$ $= 1$

$\frac{d}{d x} e^{x^{n}}$ $= (e^{x^{n}})'$ $= n x^{n - 1} e^{x^{n}}$

$\frac{d}{d x} {(e^{x})}^{n}$ $= ({(e^{x})}^{n})'$ $= (e^{n x})'$ $= n e^{n x}$

Pochodna funkcji logarytmu:

$\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{d x} \log_{a} (x) = \frac{1}{x} \log_{a} (e)$

Instrumenty pochodne

Pochodna funkcji przy danej wartości wejściowej opisuje tempo zmian funkcji w pobliżu tej wartości wejściowej. Proces wyznaczania pochodnej nazywany jest różniczkowaniem. Geometrycznie, pochodna w danym punkcie jest nachyleniem linii stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie, przy założeniu, że pochodna istnieje i jest zdefiniowana w tym punkcie. W przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartości rzeczywistej pochodna funkcji w danym punkcie zazwyczaj określa najlepsze liniowe przybliżenie funkcji w tym punkcie.

Rachunek różniczkowy i całkowy łączy fundamentalne twierdzenie rachunku nieskończoności, które mówi, że różniczkowanie jest procesem odwrotnym do całkowania. Rachunek różniczkowy jest stosowany w prawie wszystkich dyscyplinach ilościowych. W fizyce pochodną przemieszczenia poruszającego się ciała względem czasu jest prędkość ciała, a pochodną prędkości względem czasu jest przyspieszenie. Pochodna pędu ciała względem czasu jest równa sile działającej na ciało.

Pochodne cząstkowe

Pochodna cząstkowa to pochodna funkcji, która zależy od kilku zmiennych, w odniesieniu do danej zmiennej, traktując pozostałe zmienne jako stałe. Gdy funkcja zależy od kilku zmiennych, możemy rozważyć jej pochodną względem każdej zmiennej, tak jakby pozostałe zmienne były stałe. Zatem częściowa pochodna funkcji f(x,y) względem x oznaczałaby, że obliczamy pochodną f(x,y) względem x, traktując y jako stałą. Pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) względem y oznacza, że obliczamy pochodną funkcji f(x,y) względem y, traktując x jako stałą. Matematycznie, pochodna cząstkowa funkcji f(x1, x2, ..., xn) względem zmiennej xi jest wyrażona przez wyrażenie ∂f/∂xi. Symbol ∂ (różniczka cząstkowa) jest używany do wskazania, że obliczamy pochodną cząstkową, w przeciwieństwie do zwykłej pochodnej, która jest reprezentowana przez d/dx.

Dla funkcji x i innych zmiennych, pochodna cząstkowa względem x jest zapisana w następujący sposób.

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y, . . .)$

W przypadku pochodnych cząstkowych pozostałe zmienne są traktowane jako stałe.

Kalkulator pochodnych zwykłych i cząstkowych

Zasady wyprowadzania w skrócie

Instrumenty pochodne

Pochodne cząstkowe

Więcej stron na ten temat