Exponentielles Wachstum

Dem Modell des exponentiellen Wachstums liegt zugrunde, dass ein Bestand y (z.B. eine Population) sich umso stärker vermehrt je größer der Bestand selbst ist. D.h. in dem Modell das die Wachstumsgeschwindigkeit mit der Größe des Bestandes immer weiter zunimmt.

Das Modell berücksichtigt keine begrenzenden Faktoren wie z.B. nur endlich verfügbare Ressourcen. Ein Modell, das diesen Umstand berücksichtigt führt zum Modell des logistischen Wachstums.

Gleichung des exponentiellen Wachstums

Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums:

yt= λyt

λ:Wachstumsrate

Mit der Wachstumsfunktion zu den allgemeinen Anfangsbedingungen t0 and y0 = y(t0)

yt=y0eλt-t0

Die Halbwertzeit bzw. Verdopplungszeit T bezeichnet die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt bzw. halbiert.

Exponentielles Wachstum:

T = ln 2 λ

Exponentieller Zerfall:

T = ln 12 λ

Anwendungsbeispiele:

Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums

Das kontinuierliche exponentielle Wachstum wird durch eine lineare homogene Differentialgleichungen mit dem konstanten Faktor λ beschrieben.

yt= d y d t =λyt

Die Gleichung besagt, dass die Änderung des Bestands proportional zum Bestand selbst ist. λ ist die Proportionalitätskonstante.

yy=λ

Division durch y

lny=λ

Anwendung der Kettenregel

lny=λdt=λt+C

Integration

y=y0eλt-t0

Allgemeine Lösung der Gleichung für das exponentielle Wachstum mit der Konstanten y0 für den Anfangsbestand. Für λ > 0 liegt ein exponentieller Wachstumsprozess vor und für λ < 0 ein exponentieller Zerfallsprozess.

Rechner für das Modell des exponentiellen Wachstums

Format:
Anzahl der Stellen =
Gitterpunkte:
Skalierung=
Funktion:
Gitter:

Anfangswerte

t0=
y0=

Parameter

λ=

Bereiche der Achsen

t-min=
t-max=
y-min=
y-max=

Bereiche der Parameter

λ-min=
λ-max=

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