icon-Dgl Mathe Tutorial: Exponentielles Wachstum

Modell

Dem Modell des exponentiellen Wachstums liegt zugrunde, dass ein Bestand y (z.B. eine Population) sich umso stärker vermehrt je größer der Bestand selbst ist. D.h. in dem Modell das die Wachstumsgeschwindigkeit mit der Größe des Bestandes immer weiter zunimmt.

Grenzen des Modells

Das Modell berücksichtigt keine begrenzenden Faktoren wie z.B. nur endlich verfügbare Ressourcen. Ein Modell, das diesen Umstand berücksichtigt führt zum Modell des logistischen Wachstums.

Halbwertzeit bzw. Verdopplungszeit T

Die Halbwertzeit bzw. Verdopplungszeit T bezeichnet die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt bzw. halbiert.

Exponentielles Wachstum:

T = ln 2 λ

Exponentieller Zerfall:

T = ln 12 λ

Anwendungsbeispiele

  • Wachstum von Populationen

  • Radioaktiver Zerfall

  • Absorbtion von Licht

  • Zinseszins

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Modelle

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Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums

Das kontinuierliche exponentielle Wachstum wird durch eine lineare homogene Differentialgleichungen mit dem konstanten Faktor λ beschrieben.

yt= d y d t =λyt

Die Gleichung besagt, dass die Änderung des Bestands proportional zum Bestand selbst ist. λ ist die Proportionalitätskonstante.

yy=λ

Division durch y

lny=λ

Anwendung der Kettenregel

lny=λdt=λt+C

Integration

y=y0eλt

Allgemeine Lösung der Gleichung für das exponentielle Wachstum mit der Konstanten y0 für den Anfangsbestand. Für λ > 0 liegt ein exponentieller Wachstumsprozess vor und für λ < 0 ein exponentieller Zerfallsprozess.

Rechner für das Modell des exponentiellen Wachstums

Zoom

y=y0eλt

Schrittweite Richtungsfeld
step=
Wertebereich der Achsen
t-min= t-max=
y-min= y-max=
Wertebereich der Parameter
λ-min= λ-max=
Aktueller Wert der Parameter
λ=
Aktueller Wert der Anfangswerte
t0= y0=