Exponentielles Wachstum

Dem Modell des exponentiellen Wachstums liegt zugrunde, dass ein Bestand y (z.B. eine Population) sich umso stärker vermehrt je größer der Bestand selbst ist. D.h. in dem Modell das die Wachstumsgeschwindigkeit mit der Größe des Bestandes immer weiter zunimmt.

Das Modell berücksichtigt keine begrenzenden Faktoren wie z.B. nur endlich verfügbare Ressourcen. Ein Modell, das diesen Umstand berücksichtigt führt zum Modell des logistischen Wachstums.

Gleichung des exponentiellen Wachstums

Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums:

$y' (t) = λ y (t)$

$λ : Wachstumsrate$

Mit der Wachstumsfunktion zu den allgemeinen Anfangsbedingungen t₀ and y₀ = y(t₀)

$y (t) = y_{0} e^{λ (t - t_{0})}$

Die Halbwertzeit bzw. Verdopplungszeit T bezeichnet die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt bzw. halbiert.

Exponentielles Wachstum:

$T = \frac{ln 2}{λ}$

Exponentieller Zerfall:

$T = \frac{ln \frac{1}{2}}{λ}$

Anwendungsbeispiele:

Wachstum von Populationen
Radioaktiver Zerfall
Absorbtion von Licht
Zinseszins

Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums

Das kontinuierliche exponentielle Wachstum wird durch eine lineare homogene Differentialgleichungen mit dem konstanten Faktor λ beschrieben.

$y' (t) = \frac{d y}{d t} = λ y (t)$

Die Gleichung besagt, dass die Änderung des Bestands proportional zum Bestand selbst ist. λ ist die Proportionalitätskonstante.

$\frac{y'}{y} = λ$

Division durch y

$(\ln y)' = λ$

Anwendung der Kettenregel

$\ln y = λ \int d t = λ t + C$

Integration

$y = y_{0} e^{λ (t - t_{0})}$

Allgemeine Lösung der Gleichung für das exponentielle Wachstum mit der Konstanten y₀ für den Anfangsbestand. Für λ > 0 liegt ein exponentieller Wachstumsprozess vor und für λ < 0 ein exponentieller Zerfallsprozess.

Rechner für das Modell des exponentiellen Wachstums

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