Mittelwertrechner

Online-Rechner zur Berechung gewichteter und ungewichteter Mittelwerte

Mit dem Mittelwertrechner werden das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel sowie das quadratische- und das kubische Mittel und der Median berechnet.

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Berechnete Mittelwerte

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Median

Datenpunkte

In der folgenden Tabelle können Sie die für die Mittelwertberechnung verwendeten Werte eingeben. Die Eingaben für die Werte und die Gewichte erfolgen paarweise in einer Zeile: a₁, a₂, a₃, ... und die Gewichte w₁, w₂, w₃, ...

Wenn alle Gewichte gleich 1 sind, entspricht dies dem ungewichteten Mittelwert.

Eine alternative Eingabe ist mit dem Laden der Daten aus einer Datei möglich. Die Werte können durch Komma, Leerzeichen oder Semikolon getrennt werden. Die Werte müssen paarweise angegeben werden x₁, w₁, x₂, w₂...

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Definitionen der Mittelwerte

Arithmetischer Mittelwert

$A_{n} (a_{i}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}$

Das arithmetische Mittel erfüllt die Gleichung n⋅A = a₁ + a₂ + ... + a_n. Das arithmetische Mittel wird auch als Durchschnitt bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt eine geometrische Konstruktion des arithmetischen Mittels. In dem Beispiel werden die drei Strecken mit der Gesamtlänge 12 durch die gleiche Anzahl Strecken mit der Durchnittslänge A=4 ersetzt.

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren w_i kann das arthmetische Mittel zum gewichteten arithmetischen Mittel verallgemeinert werden.

$A_{n} (w_{i}, a_{i}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} a_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}} = \frac{w_{1} a_{1} + w_{2} a_{2} + ... + w_{n} a_{n}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}$

Geometrischer Mittelwert

Der geometrische Mittelwert ist ein Mittelwert für positive Werte. Das geometrische Mittel verwendet das Produkt der Menge, die der Summe im arithmetischen Mittel gegenüberliegt.

$G_{n} (a_{i}) = \sqrt[n]{Π_{i = 1}^{n} a_{i}} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}$

Zum Beispiel ist für die beiden Werte 1 und 9 das arithmetische Mittel 5, so dass die Differenz vom arithmetischen Mittel zu den beiden Werten 4 beträgt. Das geometrische Mittel ist 3, so dass der Abstand durch den gleichen Faktor anstelle der Differenz angegeben wird. 1 multipliziert mit 3 ergibt 3 und 3 multipliziert mit 3 ergibt 9.

Gewichtetes geometrisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren w_i kann das geometrische Mittel zum gewichteten geometrischen Mittel verallgemeinert werden.

$G_{n} (w_{i}, a_{i}) = \sqrt[\sum_{i = 1}^{n} w_{i}]{Π_{i = 1}^{n} a_{i}^{w_{i}}} = \sqrt[\sum_{i = 1}^{n} w_{i}]{a_{1}^{w_{1}} \cdot a_{2}^{w_{2}} \cdot ... \cdot a_{n}^{w_{n}}}$

Harmonischer Mittelwert

Der harmonische Mittelwert wird für Durchschnittsraten und -verhältnisse verwendet. Wenn zum Beispiel ein Fahrzeug eine bestimmte Strecke d mit einer Geschwindigkeit x (z.B. 60 km/h) nach aussen fährt und die gleiche Strecke mit einer Geschwindigkeit y (z.B. 20 km/h) zurücklegt, dann ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit das harmonische Mittel von x und y (30 km/h) - nicht das arithmetische Mittel (40 km/h).

$H_{n} (a_{i}) = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}}}$

Gewichtetes harmonisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren w_i kann das harmonische Mittel zum gewichteten harmonischen Mittel verallgemeinert werden.

$H_{n} (w_{i}, a_{i}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{i}}{a_{i}}} = \frac{w_{1} + w_{2} + ... + w_{n}}{\frac{w_{1}}{a_{1}} + \frac{w_{2}}{a_{2}} + ... + \frac{w_{n}}{a_{n}}}$

Quadratischer Mittelwert

Der quadratische Mittelwert (RMS oder rms) ist definiert als die Quadratwurzel des mittleren Quadrats (das arithmetische Mittel der Quadrate einer Menge von Zahlen). In der Schätztheorie ist die Abweichung des quadratischen Mittelwerts eines Schätzers ein Maß für die Unvollkommenheit der Anpassung des Schätzers an die Daten.

$Q_{n} (a_{i}) = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{n}}$

Gewichtetes quadratisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren w_i kann das quadratische Mittel zum gewichteten quadratischen Mittel verallgemeinert werden.

$Q_{n} (w_{i}, a_{i}) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} a_{i}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}} = \sqrt{\frac{w_{1} a_{1}^{2} + w_{2} a_{2}^{2} + ... + w_{n} a_{n}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}}$

Kubischer Mittelwert

Der kubische Mittelwert wird z.B. zur Vorhersage der Lebenserwartung von Maschinenteilen verwendet.

$K_{n} (a_{i}) = \sqrt[3]{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{3}} = \sqrt[3]{\frac{a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + ... + a_{n}^{3}}{n}}$

Gewichtetes kubisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren w_i kann das kubische Mittel zum gewichteten kubischen Mittel verallgemeinert werden.

$Q_{n} (w_{i}, a_{i}) = \sqrt[3]{\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} a_{i}^{3}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}} = \sqrt[3]{\frac{w_{1} a_{1}^{3} + w_{2} a_{2}^{3} + ... + w_{n} a_{n}^{3}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}}$

Median

Für aufsteigend sortierte Werte a_i ist der Median definiert durch:

$a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n}$

$M_{n} (a_{i}) = \{\begin{matrix} a_{\frac{n + 1}{2}} & n : odd \\ \frac{a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1}}{2} & n : even \end{matrix}$

Gewichteter Median

Für aufsteigend sortierte Wertepaare ( a_i, w_i ), die nach a_i sortiert sind, mit den Gewichten w_i∈ℝ₊ ist der gewichtete Median folgendermaßen definiert:

$a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n}$

$W = \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} + 1}{2}$

Die folgenden zwei Bedingungen bedeuten, dass die Summe der Gewicht bis zum Index i_u kleiner als W sind und die Summe der Gewichte ab Index i_o bis zum Ende der Folge ebefalls kleiner als W ist.

$\sum_{i = 1}^{i_{u}} w_{i} < W$

$\sum_{i = i_{o}}^{N} w_{i} < W$

Wenn die Differenz der Indizes i_u und i_o gleich 1 ist wird der Median aus a_{i_u} und a_{i_o} arithmetisch gemittelt. Ist die Differenz größer ergibt sich der Median aus der Mittelung der Indizes i_u und i_o.

Im folgenden zeigt ein Beispiel die Berechnung des gewichteten Medians.

Standardabweichung vom Mittelwert

$σ = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} - Mean)}^{2}}$

Screenshot der Abbildungen

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Berechnete Mittelwerte

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Arithmetischer Mittelwert

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Geometrischer Mittelwert

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Harmonischer Mittelwert

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Quadratischer Mittelwert

Gewichtetes quadratisches Mittel

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Median

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