Mittelwertrechner

Online-Rechner zur Berechung gewichteter und ungewichteter Mittelwerte

Mit dem Mittelwertrechner werden das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel sowie das quadratische- und das kubische Mittel und der Median berechnet.

Seitenverhältnis:
Anzahl der Stellen=
Arithmetischer Mittelwert:
Geometrischer Mittelwert:
Harmonischer Mittelwert:
Quadratischer Mittelwert:
Kubischer Mittelwert:
Median:
Punkte:
Kommentar:
Standardabweichung anzeigen σ:
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Berechnete Mittelwerte

Mittelwerte
Standardabweichung σ
Arithmetischer Mittelwert
Geometrischer Mittelwert
Harmonischer Mittelwert
Quadratischer Mittelwert
Kubischer Mittelwert
Median

Datenpunkte

In der folgenden Tabelle können Sie die für die Mittelwertberechnung verwendeten Werte eingeben. Die Eingaben für die Werte und die Gewichte erfolgen paarweise in einer Zeile: a1, a2, a3, ... und die Gewichte w1, w2, w3, ...

Wenn alle Gewichte gleich 1 sind, entspricht dies dem ungewichteten Mittelwert.

Anzahl der Messpunkte

n=

Eine alternative Eingabe ist mit dem Laden der Daten aus einer Datei möglich. Die Werte können durch Komma, Leerzeichen oder Semikolon getrennt werden. Die Werte müssen paarweise angegeben werden x1, w1, x2, w2...

Laden aus Datei:

Definitionen der Mittelwerte

Arithmetischer Mittelwert

Anai= 1 n i = 1 n a i =a1+a2+...+ann

Das arithmetische Mittel erfüllt die Gleichung n⋅A = a1 + a2 + ... + an. Das arithmetische Mittel wird auch als Durchschnitt bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt eine geometrische Konstruktion des arithmetischen Mittels. In dem Beispiel werden die drei Strecken mit der Gesamtlänge 12 durch die gleiche Anzahl Strecken mit der Durchnittslänge A=4 ersetzt.

Arithmetischer-Mittelwert-Geometrisch

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das arthmetische Mittel zum gewichteten arithmetischen Mittel verallgemeinert werden.

Anwiai= i = 1 n w i a i i = 1 n w i =w1a1+w2a2+...+wnan i = 1 n w i

Geometrischer Mittelwert

Der geometrische Mittelwert ist ein Mittelwert für positive Werte. Das geometrische Mittel verwendet das Produkt der Menge, die der Summe im arithmetischen Mittel gegenüberliegt.

Gnai= Π i = 1 n a i n =a1a2...ann

Zum Beispiel ist für die beiden Werte 1 und 9 das arithmetische Mittel 5, so dass die Differenz vom arithmetischen Mittel zu den beiden Werten 4 beträgt. Das geometrische Mittel ist 3, so dass der Abstand durch den gleichen Faktor anstelle der Differenz angegeben wird. 1 multipliziert mit 3 ergibt 3 und 3 multipliziert mit 3 ergibt 9.

Gewichtetes geometrisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das geometrische Mittel zum gewichteten geometrischen Mittel verallgemeinert werden.

Gnwiai= Π i = 1 n a i wi i = 1 n w i =a1w1a2w2...anwn i = 1 n w i

Harmonischer Mittelwert

Der harmonische Mittelwert wird für Durchschnittsraten und -verhältnisse verwendet. Wenn zum Beispiel ein Fahrzeug eine bestimmte Strecke d mit einer Geschwindigkeit x (z.B. 60 km/h) nach aussen fährt und die gleiche Strecke mit einer Geschwindigkeit y (z.B. 20 km/h) zurücklegt, dann ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit das harmonische Mittel von x und y (30 km/h) - nicht das arithmetische Mittel (40 km/h).

Hnai= n i = 1 n 1 a i =n1a1+1a2+...+1an

Gewichtetes harmonisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das harmonische Mittel zum gewichteten harmonischen Mittel verallgemeinert werden.

Hnwiai= i = 1 n w i i = 1 n wi a i = w 1 + w 2 + ... + w n w1a1+w2a2+...+wnan

Quadratischer Mittelwert

Der quadratische Mittelwert (RMS oder rms) ist definiert als die Quadratwurzel des mittleren Quadrats (das arithmetische Mittel der Quadrate einer Menge von Zahlen). In der Schätztheorie ist die Abweichung des quadratischen Mittelwerts eines Schätzers ein Maß für die Unvollkommenheit der Anpassung des Schätzers an die Daten.

Qnai= 1 n i = 1 n a i 2 =a12+a22+...+an2n

Gewichtetes quadratisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das quadratische Mittel zum gewichteten quadratischen Mittel verallgemeinert werden.

Qnwiai= i = 1 n w i a i 2 i = 1 n w i =w1a12+w2a22+...+wnan2 i = 1 n w i

Kubischer Mittelwert

Der kubische Mittelwert wird z.B. zur Vorhersage der Lebenserwartung von Maschinenteilen verwendet.

Knai= 1 n i = 1 n a i 3 3 =a13+a23+...+an3n3

Gewichtetes kubisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das kubische Mittel zum gewichteten kubischen Mittel verallgemeinert werden.

Qnwiai= i = 1 n w i a i 3 i = 1 n w i 3 =w1a13+w2a23+...+wnan3 i = 1 n w i 3

Median

Für aufsteigend sortierte Werte ai ist der Median definiert durch:

a1a2...an

Mnai= a n+12 n : odd a n2 + a n2+1 2 n : even

Gewichteter Median

Für aufsteigend sortierte Wertepaare ( ai, wi ), die nach ai sortiert sind, mit den Gewichten wi∈ℝ+ ist der gewichtete Median folgendermaßen definiert:

a1a2...an

W= i = 1 n w i + 1 2

Die folgenden zwei Bedingungen bedeuten, dass die Summe der Gewicht bis zum Index iu kleiner als W sind und die Summe der Gewichte ab Index io bis zum Ende der Folge ebefalls kleiner als W ist.

i = 1 iu w i < W

i = io N w i < W

Wenn die Differenz der Indizes iu und io gleich 1 ist wird der Median aus aiu und aio arithmetisch gemittelt. Ist die Differenz größer ergibt sich der Median aus der Mittelung der Indizes iu und io.

Im folgenden zeigt ein Beispiel die Berechnung des gewichteten Medians.

Gewichteter-Median

Standardabweichung vom Mittelwert

σ = 1 n i = 1 n a i - Mean 2

Screenshot der Abbildungen

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