icon-Regression Mathe Tutorial: Online Rechner zur Brechnung von gewichteten und ungewichteten Mittelwerten.

Anzahl der Stellen =

Linien Style

Die Einstellung wird mit Neuberechnung der Funktion übernommen.

Arithmetischer Mittelwert

Geometrischer Mittelwert

Harmonischer Mittelwert

Quadratischer Mittelwert

Kubischer Mittelwert

Median

Punkte Style

Mit dem Mittelwertrechner werden das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel sowie das quadratische- und das kubische Mittel und der Median berechnet.

Mittelwertrechner

Anzahl der Messpunkte n=

Eingabe der Messwerte: a1, a2, a3, ... und der Gewichte w1, w2, w3, ...

Sind alle Gewichte gleich 1 dann entspricht das den ungewichteten Mittelwerten.

Eine alternative Eingabe ist über das folgende Textfeld möglich. Das Dezimaltrennzeichen ist der Punkt (.). Die Werte können Komma oder Leerzeichen oder Semikolon getrennt sein. Wichtig ist, dass die letzte Zahl mit einem Semikolon beendet wird.

Für die paarweise Eingabe von Wert und Gewicht muß als erstes Zeichen # eingegeben werden. Z.B. #1 2 2 1 3 2; entspricht a1=1, w1=2, a2=2, w2=1, a3=3, w3=2,

Arithmetischer Mittelwert

Anai= 1 n i = 1 n a i =a1+a2+...+ann

Das arithmetische Mittel erfüllt die Gleichung n⋅A = a1 + a2 + ... + an. Das arithmetische Mittel wird auch als Durchschnitt bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt eine geometrische Konstruktion des arithmetischen Mittels. In dem Beispiel werden die drei Strecken mit der Gesamtlänge 12 durch die gleiche Anzahl Strecken mit der Durchnittslänge A=4 ersetzt.

Arithmetischer-Mittelwert-Geometrisch

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das arthmetische Mittel zum gewichteten arithmetischen Mittel verallgemeinert werden.

Anwiai= i = 1 n w i a i i = 1 n w i =w1a1+w2a2+...+wnan i = 1 n w i

Geometrischer Mittelwert

Gnai= Π i = 1 n a i n =a1a2...ann

Gewichtetes geometrisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das geometrische Mittel zum gewichteten geometrischen Mittel verallgemeinert werden.

Gnwiai= Π i = 1 n a i wi i = 1 n w i =a1w1a2w2...anwn i = 1 n w i

Harmonischer Mittelwert

Hnai= n i = 1 n 1 a i =n1a1+1a2+...+1an

Gewichtetes harmonisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das harmonische Mittel zum gewichteten harmonischen Mittel verallgemeinert werden.

Hnwiai= i = 1 n w i i = 1 n wi a i = w 1 + w 2 + ... + w n w1a1+w2a2+...+wnan

Quadratischer Mittelwert

Qnai= 1 n i = 1 n a i 2 =a12+a22+...+an2n

Gewichtetes quadratisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das quadratische Mittel zum gewichteten quadratischen Mittel verallgemeinert werden.

Qnwiai= i = 1 n w i a i 2 i = 1 n w i =w1a12+w2a22+...+wnan2 i = 1 n w i

Kubischer Mittelwert

Knai= 1 n i = 1 n a i 3 3 =a13+a23+...+an3n3

Gewichtetes kubisches Mittel

Mit den Gewichtsfaktoren wi kann das kubische Mittel zum gewichteten kubischen Mittel verallgemeinert werden.

Qnwiai= i = 1 n w i a i 3 i = 1 n w i 3 =w1a13+w2a23+...+wnan3 i = 1 n w i 3

Median

Für aufsteigend sortierte Werte ai ist der Median definiert durch:

a1a2...an

Mnai= a n+12 n : ungerade a n2 + a n2+1 2 n : gerade

Gewichteter Median

Für aufsteigend sortierte Wertepaare ( ai, wi ), die nach ai sortiert sind, mit den Gewichten wi∈ℝ+ ist der gewichtete Median folgendermaßen definiert:

a1a2...an

W= i = 1 n w i + 1 2

Die folgenden zwei Bedingungen bedeuten, dass die Summe der Gewicht bis zum Index iu kleiner als W sind und die Summe der Gewichte ab Index io bis zum Ende der Folge ebefalls kleiner als W ist.

i = 1 iu w i < W

i = io N w i < W

Wenn die Differenz der Indizes iu und io gleich 1 ist wird der Median aus aiu und aio arithmetisch gemittelt. Ist die Differenz größer ergibt sich der Median aus der Mittelung der Indizes iu und io.

Im folgenden zeigt ein Beispiel für die Berechnung des gewichteten Medians.

Gewichteter-Median

Standardabweichung vom Mittelwert

σ = 1 n i = 1 n a i - Mittelwert 2