icon-Dgl Mathe Tutorial: Logistisches Wachstum

Modell

Das Modell des exponentiellen Wachstums wird beim logistischen Wachstum um eine begrenzte Ressource erweitert. Die Lösung der Dgl beschreibt eine S-förmige Kurve, eine Sigmoide. In der Mitte der Entwicklung wächst die Population am schnellsten, bis sie durch die begrenzten Ressourcen gebremst wird.

Wendepunkt

Am Wendepunkt des logistisches Wachstums erreicht der Funktionswert die halbe Sättigungsgrenze.

tW = lnGy0-1 k G

ytW = G2

Maximale Wachstumsgeschwindigkeit

Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit wird im Wendepunkt erreicht.

ytW = kG24

Anwendungsbeispiele

  • Wachstum von Populationen mit begrenzten Ressourcen

Dgl

Modelle

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Differentialgleichung des logistischen Wachstums

Das logistische Wachstum wird durch eine Differentialgleichungen mit den konstanten Faktoren k und G beschrieben.

yt= d y d t =kyG-y

Differentialgleichung des logistischen Wachstums

kdt=1yG-ydy

Trennung der Variablen

kGt+C=lnyG-y

Integration liefert

y=G11+ekGtGy0-1

Auflösen und Einsetzen der Anfangsbedingung y0 ergibt die Lösung der logistischen Differentialgleichung

Rechner für das Modell des logistischen Wachstums

Zoom

y=G11+ekGtGy0-1

Schrittweite Richtungsfeld
step=
Wertebereich der Achsen
t-min= t-max=
y-min= y-max=
Wertebereich der Parameter
k-min= k-max=
Aktueller Wert der Parameter
G= k=
Aktueller Wert der Anfangswerte
y0=