Logistisches Wachstum

Das Modell des exponentiellen Wachstums wird beim logistischen Wachstum um eine begrenzte Ressource erweitert. Die Lösung der Dgl beschreibt eine S-förmige Kurve, eine Sigmoide. In der Mitte der Entwicklung wächst die Population am schnellsten, bis sie durch die begrenzten Ressourcen gebremst wird.

Abbildung: Die Abbildung zeigt eine logistische Wachstumskurve und ihre Ableitung als gepunktete Kurve. Das maximale Wachstum ist durch den roten Punkt gekennzeichnet. Die Vektoren zeigen das Richtungsfeld des Wachstumsmodells.

logistic-curve

Gleichung des logistischen Wachstums

Differentialgleichung des logistischen Wachstums:

yt=kyG-y

G:Maximaler Wachstumswert k:Logistische Wachstumsrate

Mit der Wachstumsfunktion zu den Anfangsbedingungen t0 = 0 and y0 = y(0)

y=G1+e-kGtGy0-1

Mit der Wachstumsfunktion zu den allgemeinen Anfangsbedingungen t0 and y0 = y(t0)

y=G1+e-kGt-t0Gy0-1

Wendepunkt der logistischen Wachstumsfunktion:

Am Wendepunkt des logistisches Wachstums erreicht der Funktionswert die halbe Sättigungsgrenze.

tW =t0+ lnGy0-1 k G

ytW = G2

Maximale Wachstumsgeschwindigkeit:

Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit wird im Wendepunkt erreicht.

ytW = kG24

Anwendungsbeispiele

Differentialgleichung des logistischen Wachstums

Das logistische Wachstum wird durch eine Differentialgleichungen mit den konstanten Faktoren k und G beschrieben.

yt= d y d t =kyG-y

Differentialgleichung des logistischen Wachstums

kdt=1yG-ydy

Trennung der Variablen

kGt+C=lnyG-y

Integration liefert

y=G1+e-kGt-t0Gy0-1

Auflösen und Einsetzen der Anfangsbedingung t0, y0 ergibt die Lösung der logistischen Differentialgleichung

Rechner für das Modell des logistischen Wachstums

Format:
Anzahl der Stellen =
Gitterpunkte:
Skalierung=
Funktion:
Gitter:

Anfangswerte

t0=
y0=

Parameter

G=
k=

Bereiche der Achsen

t-min=
t-max=
y-min=
y-max=

Bereiche der Parameter

k-min=
k-max=
G-min=
G-max=

Screenshot der Abbildung

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