Lineare Gleichungssysteme

Allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten durch entsprechende Umformungen immer in die folgende Form bringen:

$\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}$

Matrixform des linearen Gleichungssystems

Das lineare Gleichungssystem lässt sich mit einer Koeffizientenmatrix A in Matrixschreibweise darstellen:

$(\begin{matrix} a_{11} a_{12} \dots a_{1 n} \\ a_{21} a_{22} \dots a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m 1} a_{m 2} \dots a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

oder kurz:

$A \cdot x = b$

Für die Definition des Gleichungssystems ist die Angabe der Unbekannten nicht erforderlich. Mit der erweiterten Koeffizientenmatrix lässt sich das Gleichungssystem folgendermaßen schreiben:

$(A | b) = (\begin{matrix} a_{11} a_{12} \dots a_{1 n} \\ a_{21} a_{22} \dots a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m 1} a_{m 2} \dots a_{m n} \end{matrix} | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

Zum Auffinden der Lösung eines linearen Gleichungssystems sind die drei folgenden elementaren Zeilenumformungen hilfreich. Die Lösungsmenge ändert sich nicht bei folgenden Operationen:

Vertauschen zweier Zeilen
Multiplizieren einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl
Addieren einer Zeile (oder des Vielfachen einer Zeile) zu einer anderen Zeile

Lösung des linearen Gleichungssystems

Wird die erweiterte Koeffizienmatrix mittels der elementaren Umformungen auf Dreiecksform gebracht, kann die Lösung direkt abgelesen werden.

$(\begin{matrix} a_{11} a_{12} \dots a_{1 n} \\ 0 a_{22} \dots a_{2 n} \\ ⋮ \\ 0 0 \dots 0 a_{m n} \end{matrix} | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

Gaußsches Eliminationsverfahren

Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen des linearen Gleichungssystems. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen das Gleichungssystem in eine einfach zu lösende Form.

Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren mit Zwischenschritten

Die Koeffizientenmatrix in dem Beispiel lautet:

$(\begin{matrix} 4.89 & 7.02 & 3.55 \\ 0.29 & 2.57 & 7.53 \\ 2.86 & 6.90 & 8.22 \end{matrix} | \begin{matrix} 1.22 \\ 1.61 \\ 2.32 \end{matrix})$

Berechnung der Stufenform (Gauß-Verfahren)

Division der Zeile 1 durch das Element a_1,1=4.89

$(\begin{matrix} 1.00 & 1.44 & 0.73 \\ 0.29 & 2.57 & 7.53 \\ 2.86 & 6.90 & 8.22 \end{matrix} | \begin{matrix} 0.25 \\ 1.61 \\ 2.32 \end{matrix})$

Subtraktion der 1. Zeile von den folgenden Zeilen. Dabei wird die 1. Zeile jeweils multipliziert mit dem jeweils führenden Element der folgenden Zeilen

$(\begin{matrix} 1.00 & 1.44 & 0.73 \\ 0.00 & 2.15 & 7.32 \\ 0.00 & 2.79 & 6.14 \end{matrix} | \begin{matrix} 0.25 \\ 1.54 \\ 1.61 \end{matrix})$

Division der Zeile 2 durch das Element a_2,2=2.15

$(\begin{matrix} 1.00 & 1.44 & 0.73 \\ 0.00 & 1.00 & 3.40 \\ 0.00 & 2.79 & 6.14 \end{matrix} | \begin{matrix} 0.25 \\ 0.71 \\ 1.61 \end{matrix})$

Subtraktion der 2. Zeile von den folgenden Zeilen. Dabei wird die 2. Zeile jeweils multipliziert mit dem jeweils führenden Element der folgenden Zeilen

$(\begin{matrix} 1.00 & 1.44 & 0.73 \\ 0.00 & 1.00 & 3.40 \\ 0.00 & 0.00 & -3.35 \end{matrix} | \begin{matrix} 0.25 \\ 0.71 \\ -0.39 \end{matrix})$

Division der Zeile 3 durch das Element a_3,3=-3.35

$(\begin{matrix} 1.00 & 1.44 & 0.73 \\ 0.00 & 1.00 & 3.40 \\ 0.00 & 0.00 & 1.00 \end{matrix} | \begin{matrix} 0.25 \\ 0.71 \\ 0.12 \end{matrix})$

Berechnung der reduzierten Stufenform (Jordan-Verfahren)

Subtraktion des 1.44 fachen der Zeile 2 von der Zeile 1

$(\begin{matrix} 1.00 & 0.00 & -4.15 \\ 0.00 & 1.00 & 3.40 \\ 0.00 & 0.00 & 1.00 \end{matrix} | \begin{matrix} -0.78 \\ 0.71 \\ 0.12 \end{matrix})$

Subtraktion des 3.40 fachen der Zeile 3 von der Zeile 2

$(\begin{matrix} 1.00 & 0.00 & -4.15 \\ 0.00 & 1.00 & 0.00 \\ 0.00 & 0.00 & 1.00 \end{matrix} | \begin{matrix} -0.78 \\ 0.32 \\ 0.12 \end{matrix})$

Subtraktion des -4.15 fachen der Zeile 3 von der Zeile 1

$(\begin{matrix} 1.00 & 0.00 & 0.00 \\ 0.00 & 1.00 & 0.00 \\ 0.00 & 0.00 & 1.00 \end{matrix} | \begin{matrix} -0.29 \\ 0.32 \\ 0.12 \end{matrix})$

Die Lösung des Gleichungssystems steht jetzt in der rechten Spalte der Koeffizientenmatrix und kann direkt abgelesen werden.

$\begin{matrix} x_{1} & = & -0.29 \\ x_{2} & = & 0.32 \\ x_{3} & = & 0.12 \end{matrix}$

Cramersche Regel

Für den Fall eines linearen (n x n) Gleichungssystems mit det(A) ungleich 0 kann die Lösung in folgender Form angegeben werden:

$x = A^{-1} b$

$x_{i} = \frac{1}{det A} | \begin{matrix} a_{11} \dots b_{1} \dots a_{1 n} \\ a_{21} \dots b_{2} \dots a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \dots b_{n} \dots a_{n n} \end{matrix} |$

$x_{i} = \frac{D_{i}}{D}$

Dabei geht die im Zähler stehende Determinante D_i aus D = det A hervor indem die i-te Spalte von D durch b ersetzt wird.

Beispiel für die Anwendung der Cramerschen Regel mit Zwischenschritten

Die Koeffizientenmatrix in dem Beispiel lautet:

$(\begin{matrix} 9.07 & 2.2 & 5.37 \\ 7.92 & 3.82 & 0.47 \\ 0.33 & 9.06 & 7.81 \end{matrix} | \begin{matrix} 8.09 \\ 1.51 \\ 0.39 \end{matrix})$

Die Lösung des Gleichungssystem ist:

$x_{1} = \frac{1}{det(A)} | \begin{matrix} 8.09 & 2.20 & 5.37 \\ 1.51 & 3.82 & 0.47 \\ 0.39 & 9.06 & 7.81 \end{matrix} | = \frac{246.83}{474.79} = 0.52$

$x_{2} = \frac{1}{det(A)} | \begin{matrix} 9.07 & 8.09 & 5.37 \\ 7.92 & 1.51 & 0.47 \\ 0.33 & 0.39 & 7.81 \end{matrix} | = \frac{-379.94}{474.79} = -0.80$

$x_{3} = \frac{1}{det(A)} | \begin{matrix} 9.07 & 2.20 & 8.09 \\ 7.92 & 3.82 & 1.51 \\ 0.33 & 9.06 & 0.39 \end{matrix} | = \frac{454.03}{474.79} = 0.96$

Weitere Lösungsverfahren für kleine Gleichungssysteme

Additionsverfahren

Bei dem Additionsverfahren werden die Gleichungen addiert, so dass bei jedem Additionsschritt eine Variable eliminiert wird. Dazu muß jeweils eine der Gleichungen so umgeformt werden, dass die entsprechende Variable bei der Addition herausfällt.

Beispiel: Additionsverfahren

$4 \cdot x - 2 \cdot y = 9$

$4 \cdot x + y = 3$

$4 \cdot x - 2 \cdot y = 9$

$8 \cdot x + 2 \cdot y = 6$

$12 \cdot x = 15$

$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

$y = \frac{4}{2} \cdot x - \frac{9}{2}$

$y = \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{9}{2} = \frac{5}{2} - \frac{9}{2} = - 2$

1. Umformung: Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2.

2. Umformung: Addition der Gleichungen eliminiert die Variable y.

3. Umformung: Division durch 12 ergibt die Lösung die Variable x.

4. Umformung: Auflösen der ersten Gleichung nach y.

5. Umformung: Einsetzen der Lösung für x in die Gleichung ergibt die Lösung für y.

Gleichsetzungsverfahren

Beispiel: Gleichsetzungsverfahren

$4 \cdot x - 2 \cdot y = 9$

$4 \cdot x + y = 3$

$y = 2 x - \frac{9}{2}$

$y = 3 - 4 x$

$3 - 4 x = 2 x - \frac{9}{2}$

$6 x = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

$y = \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{9}{2} = \frac{5}{2} - \frac{9}{2} = - 2$

1. Umformung: Auflösen beider Gleichungen nach y.

2. Umformung: Gleichsetzen der Gleichungen.

3. Umformung: Auflösen nach x ergibt die Lösung für die Variable x.

4. Umformung: Einsetzen der Lösung für x in die nach y aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für y.

Einsetzungsverfahren

Beispiel: Einsetzungsverfahren

$4 \cdot x - 2 \cdot y = 9$

$4 \cdot x + y = 3$

$y = 2 x - \frac{9}{2}$

$4 x + 2 x - \frac{9}{2} = 3$

$6 x = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

$y = \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{9}{2} = \frac{5}{2} - \frac{9}{2} = - 2$

1. Umformung: Auflösen einer Gleichungen nach y.

2. Umformung: Einsetzen in die andere Gleichungen.

3. Umformung: Auflösen nach x ergibt die Lösung für die Variable x.

4. Umformung: Einsetzen der Lösung für x in die nach y aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für y.

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