icon-Gleichungssystem Mathe Tutorial: Lineare Gleichungs­systeme

Rechner

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen x und y

Gleichsetzungsverfahren und grafische Lösung

a11x+a12y=b1

a21x+a22y=b2

a11= a12= b1=

a21= a22= b2=

Additionsverfahren

a11x+a12y=b1

a21x+a22y=b2

a11= a12= b1=

a21= a22= b2=

Cramersche Regel

Für den Fall eines linearen (n x n) Gleichungssystems mit det(A) ungleich 0 kann die Lösung in folgender Form angegeben werden:

x=A-1b

xi=1det A a11b1a1n a21b2a2n an1bnann

xi=DiD

Dabei geht die im Zähler stehende Determinante Di aus D = det A hervor indem die i-te Spalte von D durch b ersetzt wird.

Cramersche Regel Rechner

a11x+a12y=b1

a21x+a22y=b2

a11= a12= b1=

a21= a22= b2=

Lineare Gleichungssysteme

Allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten durch entsprechende Umformungen immer in die folgende Form bringen:

a11x1+a12x2++a1nxn=b1 a21x1+a22x2++a2nxn=b2 am1x1+am2x2++amnxn=bm

Matrixform des linearen Gleichungssystems

Das lineare Gleichungssystem lässt sich mit einer Koeffizientenmatrix A in Matrixschreibweise darstellen:

a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn x1 x2 xn = b1 b2 bn

oder kurz:

A·x=b

Für die Definition des Gleichungssystems ist die Angabe der Unbekannten nicht erforderlich. Mit der erweiterten Koeffizientenmatrix lässt sich das Gleichungssystem folgendermaßen schreiben:

A|b = a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn b1 b2 bn

Zum Auffinden der Lösung eines linearen Gleichungssystems sind die drei folgenden elementaren Zeilenumformungen hilfreich. Die Lösungsmenge ändert sich nicht bei folgenden Operationen:

  • Vertauschen zweier Zeilen
  • Multiplizieren einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl
  • Addieren einer Zeile (oder des Vielfachen einer Zeile) zu einer anderen Zeile

Lösung des linearen Gleichungssystems

Wird die erweiterte Koeffizienmatrix mittels der elementaren Umformungen auf Dreiecksform gebracht, kann die Lösung direkt abgelesen werden.

a11a12a1n 0a22a2n 000amn b1 b2 bn

Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Additionsverfahren

Bei dem Additionsverfahren werden die Gleichungen addiert, so dass bei jedem Additionsschritt eine Variable eliminiert wird. Dazu muß jeweils eine der Gleichungen so umgeformt werden, dass die entsprechende Variable bei der Addition herausfällt.

Beispiel: Additionsverfahren

4 · x - 2 · y = 9

4 · x + y = 3

4 · x - 2 · y = 9

8 · x + 2 · y = 6

1. Umformung: Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2.

12 · x = 15

2. Umformung: Addition der Gleichungen eliminiert die Variable y.

x = 15 12 = 5 4

3. Umformung: Division durch 12 ergibt die Lösung die Variable x.

y = 4 2 · x - 9 2

4. Umformung: Auflösen der ersten Gleichung nach y.

y = 4 2 · 5 4 - 9 2 = 5 2 - 9 2 = - 2

5. Umformung: Einsetzen der Lösung für x in die Gleichung ergibt die Lösung für y.

Gleichsetzungsverfahren

Beispiel: Gleichsetzungsverfahren

4 · x - 2 · y = 9

4 · x + y = 3

y = 2 x - 9 2

y = 3 - 4 x

1. Umformung: Auflösen beider Gleichungen nach y.

3 - 4 x = 2 x - 9 2

2. Umformung: Gleichsetzen der Gleichungen.

6 x = 3 + 9 2 = 15 2

x = 15 12 = 5 4

3. Umformung: Auflösen nach x ergibt die Lösung für die Variable x.

y = 4 2 · 5 4 - 9 2 = 5 2 - 9 2 = - 2

4. Umformung: Einsetzen der Lösung für x in die nach y aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für y.

Einsetzungsverfahren

Beispiel: Einsetzungsverfahren

4 · x - 2 · y = 9

4 · x + y = 3

y = 2 x - 9 2

1. Umformung: Auflösen einer Gleichungen nach y.

4 x + 2 x - 9 2 = 3

2. Umformung: Einsetzen in die andere Gleichungen.

6 x = 3 + 9 2 = 15 2

x = 15 12 = 5 4

3. Umformung: Auflösen nach x ergibt die Lösung für die Variable x.

y = 4 2 · 5 4 - 9 2 = 5 2 - 9 2 = - 2

4. Umformung: Einsetzen der Lösung für x in die nach y aufgelöste Gleichung ergibt die Lösung für y.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen des linearen Gleichungssystems. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen das Gleichungssystem in eine einfach zu lösende Form.

Rechner für das Gaußsches Eliminationsverfahren. Der Rechner illustriert das Verfahren anhand eines 3x3 Gleichungssystems. Sollten führende Koeffizienten Null sein müssen vor der Verwendung Spalten bzw. Zeilen entsprechend vertauscht werden, so dass eine Divison durch den führenden Koeffizienten möglich ist.

(

|

) =