Determinantenrechnung

Rechner

Determinantenrechner mit Angabe von Zwischenschritten.

Determinant 2x2 Determinant 3x3 Determinant 4x4 Determinant 5x5 Determinant NxN

Symbolische Determinantenrechner mit Angabe von Zwischenschritten.

Determinant 3x3 Determinant 4x4 Determinante 5x5 symbolisch

Rechenregeln

Rechenregeln für Determinantenrechnung.

Zeilenvertauschung Spaltenvertauschung Zeilenfaktor Addition von Zeilen Addition von Spalten Multiplikationssatz Transpositionssatz Inverse Matrix Kästchensatz

Berechnung des Determinantenwertes.

Determinantenwert Determinantenwert 2x2 Determinantenwert 3x3 Determinantenwert NxN Laplacescher Entwicklungssatz Gauss-Verfahren

Geschichte der Determinante

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems . Die Determinante "determiniert" ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2x2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Determinante

Jeder quadratischen Matrix läßt sich eine eindeutige Zahl zuordnen, die als Determinante ( det(A) ) der Matrix bezeichnet wird. Allgemein wird die Determinante einer n x n - Matrix durch die Leibniz-Formel definiert:

$det A = \sum_{σ \in S_{n}}^{} (sgn (σ | Π_{i = 1}^{n} A_{i ρ (i |)} |))$

wobei die Summe über alle Permutationen σ zu erstrecken ist. Man bildet also aus den Elementen von A alle möglichen Produkte zu je n-Elementen in der Weise, dass jedes der Produkte aus jeder Zeile und Spalte genau ein Element enthält. Diese Produkte werden addiert und die Summe ist die Determinante von A. Das Vorzeichen der Summanden ist positiv bei geraden Permutationen und negativ bei ungeraden Permutationen.

Rechenregeln für Determinanten

Vertauschung von Zeilen in der Determinante

Das Vertauschen zweier Zeilen einer Determinante ändert nur das Vorzeichen aber nicht den Wert der Determinate.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = - | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

Vertauschung von Spalten in der Determinante

Das Vertauschen zweier Spalten der Determinante ändert nur das Vorzeichen und nicht den Wert der Determinante.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 k} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 k} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n k} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = - | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 k} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n k} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

Faktor in der Zeile einer Determinante

Herausziehen eines gemeinsamen Faktors λ aus einer Zeile. Ist in allen Elementen einer Zeile ein gemeinsamer Faktor λ, so kann dieser als Multiplikator vor die Determinate gezogen werden. Der Wert der Determinate ergibt sich dann aus der Multiplikation des Faktors λ mit dem Wert der resultierenden Determinate det A'.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ λ a_{j 1} & λ a_{j 2} & \dots & λ a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ det A'$

Herausziehen eines gemeinsamen Faktors λ aus einer Spalte. Ist in allen Elementen einer Spalte ein gemeinsamer Faktor λ, so kann dieser als Multiplikator vor die Determinate gezogen werden. Der Wert der Determinate ergibt sich dann aus der Multiplikation des Faktors λ mit dem Wert der resultierenden Determinate det A'.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & λ a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & λ a_{2 j} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & λ a_{n j} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ det A'$

Addition von Zeilen der Determinante

Addition einer Zeile der Determinante mit dem Vielfachen einer anderen Zeile. Der Wert einer Determinanten ändert sich nicht, wenn ein Vielfaches einer anderen Zeile zu der Zeile addiert wird.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j 1} + λ a_{k 1} & a_{j 2} + λ a_{k 2} & \dots & a_{j n} + λ a_{k n} \\ ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

Addition von Spalten der Determinante

Addition einer Spalte der Determinante mit dem Vielfachen einer anderen Spalte. Der Wert einer Determinanten ändert sich nicht, wenn ein Vielfaches einer anderen Spalte zu der Spalte addiert wird.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 k} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 k} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n k} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 j} + λ a_{1 k} & \dots & a_{1 k} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 j} + λ a_{2 k} & \dots & a_{2 k} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n j} + λ a_{n k} & \dots & a_{n k} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

Multiplikationssatz

Die Determinante des Produkts zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der Matrizen.

$det (A \cdot B) = det (A) \cdot det (B)$

It also follows the following relationship.

$det (A^{k}) = {det (A)}^{k}$

Transpositionssatz

Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der Matrix selbst.

$det (A^{T}) = det (A)$

Inverse Matrix

Die Determinante der inversen einer Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante der Matrix selbst.

$det (A^{-1}) = {det (A)}^{-1} = \frac{1}{det A}$

Kästchensatz

Wenn eine Determinante die folgende Blockstruktur hat mit qudratischen Untermatrizen B und D dann kann die Determinante berechnet werden als Produkt der Determinanten B und D.

$det A = | \begin{matrix} B & C \\ 0 & D \end{matrix} | = det (B) det (D) det A = | \begin{matrix} B & 0 \\ C & D \end{matrix} | = det (B) det (D)$

Berechnung der Determinante

Determinante einer 0x0 Matrix

Die Determinante einer 0x0 Matrix ist definiert als 1.

Determinante einer 1x1 Matrix

Für eine 1x1 - Matrix also eine Matrix mit nur einem Element ist die Determinante durch das Element selbst gegeben.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} \end{matrix} | = a_{11}$

Determinante einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 - Matrix berechnet sich die Determinante folgendermaßen.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$

Determinante einer 3x3 Matrix

Zur Berechnung der Determinante einer 3x3 Matrix gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Mit der Laplace-Entwicklung wird die Berechnung auf 2x2 Determinanten zurückgeführt. Einen direkten Weg bietet die Sarrus-Regel. Die Sarrussche Regel besagt, dass die Determinante einer quadratischen 3x3 Matrix berechnet wird, indem man die Summe der Produkte der Hauptdiagonalen von der Summe der Produkte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Determinante einer 3x3 Matrix nach der Sarrus-Regel

Am Beispiel einer 3x3 Matrix wird die Determinante folgendermaßen nach der Sarrus-Regel berechnet. Schematisch werden die Spalten der Determinante wiederholt, so dass die Haupt- und Nebendiagonalen übersichtlich dargestellt sind. Dann bildet man die Produkte der Hauptdiagonalen und addiert diese. Mit den Nebendiagonalen verfährt man ebenso. Die Differenz aus beiden ergibt die Determinante der Matrix.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} | \begin{matrix} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{33} a_{21} a_{32} \end{matrix} \begin{matrix} - (a_{31} a_{22} a_{13} + a_{32} a_{23} a_{11} + a_{33} a_{21} a_{12}) \end{matrix}$

Determinante einer NxN Matrix

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz gibt ein Verfahren zur Berechnung der Determinante an, bei dem die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt wird. Dabei wird die Dimension reduziert und kann schrittweise immer weiter reduziert werden bis zum Skalar.

$det A = \sum_{i = 1}^{n} {-1}^{i + j} \cdot a_{i j} \det A_{i j} ( Entwicklung nach der j-ten Spalte )$

$det A = \sum_{j = 1}^{n} {-1}^{i + j} \cdot a_{i j} \det A_{i j} ( Entwicklung nach der i-ten Zeile )$

wobei A_ij die Untermatrix von A ist, die entsteht wenn die Zeile i und die Spalte j gestrichen werden.

Beispiel für die Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile einer 3x3 Matrix

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

Das erste Element ist gegeben durch den Faktor a₁₁ und der Unterdeterminante gegeben durch die Elemente mit grünem Hintergrund.

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

Das zweite Element ist gegeben durch den Faktor a₁₂ und der Unterdeterminante gegeben durch die Elemente mit grünem Hintergrund.

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |$

Das dritte Element ist gegeben durch den Faktor a₁₃ und der Unterdeterminante gegeben durch die Elemente mit grünem Hintergrund.

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

Mit den drei Elementen kann die Determinante als Summe von 2x2 Determinanten geschrieben werden.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

Es ist wesentlich zu beachten, dass das Vorzeichen der Elemente alterniert.

$| \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix} |$

Beispiel für die Laplace-Entwicklung anhand einer 3x3 Matrix nach der zweiten Spalte

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

Das erste Element ist der Faktor a₁₂ und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |$

Das zweite Element ist der Faktor a₂₂ und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{22} | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |$

Das dritte Element ist der Faktor a₂₃ und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{23} | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} |$

Mit den drei Elementen kann die Determinante als eine Summe von 2x2 Determinanten ausgedrückt werden.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{22} | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | - a_{32} | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} |$

Es ist wesentlich zu beachten, dass das Vorzeichen der Elemente alterniert.

$| \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix} |$

Beispiel für die Entwicklung nach der j-ten Zeile einer NxN Determinante

Die Laplace-Entwicklung reduziert eine NxN Determinante zu einer Summe von (N-1)x(N-1) Determinanten.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \pm a_{j 1} | \begin{matrix} a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j-1 2} & \dots & a_{j-1 n} \\ a_{j+1 2} & \dots & a_{j+1 n} \\ ⋮ \\ a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \pm a_{j 2} | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{j-1 1} & a_{j-1 3} & \dots & a_{j-1 n} \\ a_{j+1 1} & a_{j+1 3} & \dots & a_{j+1 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 3} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \pm \dots \pm a_{j n} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n-1} \\ ⋮ \\ a_{j-1 1} & a_{j-1 2} & \dots & a_{j-1 n-1} \\ a_{j+1 1} & a_{j+1 2} & \dots & a_{j+1 n-1} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n-1} \end{matrix} |$

Gauß-Verfahren

Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen der Matrix. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen die Matrix in Treppenform. Wenn die Matrix auf Diagonalform ist und die Hauptdiagonalelemente alle 1 sind ist der Vorfaktor der Wert der Determinate.

Mit dem Gauß-Verfahren wird die Determinante so umgeformt, dass die Elemente der unteren Dreiecksmatrix Null werden. Dazu werden die Regeln Zeilenfaktor und Addition von Zeilen verwendet. Die Addition von Zeilen verändert den Wert der Determinate nicht. Faktoren einer Zeile müssen als Multiplikatoren vor der Determinate berücksichtigt werden. Bringt man die Determinate in Dreiecksform und sind die Hauptdiagonalelemente gleich Eins dann entspricht der Faktor vor der Determinante dem Wert der Determinante selbst.

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ | \begin{matrix} 1 & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & 1 & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | = λ det A' = λ$

Cramersche Regel

Für den Fall eines linearen (n x n) Gleichungssystems mit det(A) ungleich 0 kann die Lösung in folgender Form angegeben werden:

$x = A^{-1} b$

$x_{i} = \frac{1}{det A} | \begin{matrix} a_{11} \dots b_{1} \dots a_{1 n} \\ a_{21} \dots b_{2} \dots a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \dots b_{n} \dots a_{n n} \end{matrix} |$

$x_{i} = \frac{D_{i}}{D}$

Dabei geht die im Zähler stehende Determinante D_i aus D = det A hervor indem die i-te Spalte von D durch b ersetzt wird.

Definitionen

Die Matrix A heißt Regulär, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist.

Die Matrix A heißt Singulär, wenn die Determinante von A gleich 0 ist.

Die Matrix A ist Invertierbar, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist.

Folgerungen aus dem Multiplikationssatz:

$det (A \cdot B) = det (B \cdot A)$

$det (C^{-1} A C) = det (A)$

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