icon-Determinante Mathe Tutorial: Determinante

Rechner

Die weiteren Online-Rechner berechnen die Determinaten von 2x2, 3x3, 4x4 und beliebigen quadratischen Matrizen.

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Determinanten­rechnung

Geschichte der Determinante

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems . Die Determinante "determiniert" ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2x2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Determinante

Jeder quadratischen Matrix läßt sich eine eindeutige Zahl zuordnen, die als Determinante ( det(A) ) der Matrix bezeichnet wird. Allgemein wird die Determinante einer n x n - Matrix durch die Leibniz-Formel definiert:

Determinante

wobei die Summe über alle Permutationen σ zu erstrecken ist. Man bildet also aus den Elementen von A alle möglichen Produkte zu je n-Elementen in der Weise, dass jedes der Produkte aus jeder Zeile und Spalte genau ein Element enthält. Diese Produkte werden addiert und die Summe ist die Determinante von A. Das Vorzeichen der Summanden ist positiv bei geraden Permutationen und negativ bei ungeraden Permutationen.

Für eine 2x2 - Matrix berechnet sich die Determinante folgendermaßen.

Determinante

Eine dreireihige Determinante kann nach der Sarrusschen-Regel berechnet werden, indem die Elemente jeder Hauptdiagonalen multipliziert und dann die Werte addiert. Davon werden die Werte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Determinante

Größere Determinanten führt man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz auf kleinere Determinanten zurück. Bei diesem Verfahren wird die Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt. Dabei alterniert das Vorzeichen.

Laplace

Größere Determinanten können auch nach dem Gauß-Verfahren berechnet werden. Dabei wird die Determinante durch Umformungen in eine Dreiecksform gebracht.

Cramersche Regel

Für den Fall eines linearen (n x n) Gleichungssystems mit det(A) ungleich 0 kann die Lösung in folgender Form angegeben werden:

x=A-1b

xi=1det A a11b1a1n a21b2a2n an1bnann

xi=DiD

Dabei geht die im Zähler stehende Determinante Di aus D = det A hervor indem die i-te Spalte von D durch b ersetzt wird.

Cramersche Regel Rechner

a11x+a12y=b1

a21x+a22y=b2

a11= a12= b1=

a21= a22= b2=

Definitionen

Die Matrix A heißt Regulär, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist.

Die Matrix A heißt Singulär, wenn die Determinante von A gleich 0 ist.

Die Matrix A ist Invertierbar, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist.

Folgerungen aus dem Multiplikationssatz

det(AB)=det(BA)

det(C-1AC)=det(A)

Rechenregeln für Determinanten

Vertauschung von Zeilen in der Determinante

Das Vertauschen zweier Zeilen einer Determinante ändert nur das Vorzeichen aber nicht den Wert der Determinate.

det A= a11a12a1n aj1aj2ajn ak1ak2akn an1an2ann

=- a11a12a1n ak1ak2akn aj1aj2ajn an1an2ann


Vertauschung von Spalten in der Determinante

Das Vertauschen zweier Spalten der Determinante ändert nur das Vorzeichen und nicht den Wert der Determinante.

det A= a11a1ja1ka1n a21a2ja2ka2n an1anjankann

=- a11a1ka1ja1n a21a2ka2ja2n an1ankanjann


Faktor in der Zeile einer Determinante

Herausziehen eines gemeinsamen Faktors λ aus einer Zeile. Ist in allen Elementen einer Zeile ein gemeinsamer Faktor λ, so kann dieser als Multiplikator vor die Determinate gezogen werden. Der Wert der Determinate ergibt sich dann aus der Multiplikation des Faktors λ mit dem Wert der resultierenden Determinate det A'.

det A= a11a12a1n λaj1λaj2λajn an1an2ann

=λ a11a12a1n aj1aj2ajn an1an2ann =λdet A'


Faktor in der Spalte einer Determinante

Herausziehen eines gemeinsamen Faktors λ aus einer Spalte. Ist in allen Elementen einer Spalte ein gemeinsamer Faktor λ, so kann dieser als Multiplikator vor die Determinate gezogen werden. Der Wert der Determinate ergibt sich dann aus der Multiplikation des Faktors λ mit dem Wert der resultierenden Determinate det A'.

det A= a11λa1ja1n a21λa2ja2n an1λanjann

=λ a11a1ja1n a21a2ja2n an1anjann =λdet A'


Addition von Zeilen der Determinante

Addition einer Zeile der Determinante mit dem Vielfachen einer anderen Zeile. Der Wert einer Determinanten ändert sich nicht, wenn ein Vielfaches einer anderen Zeile zu der Zeile addiert wird.

det A= a11a12a1n aj1aj2ajn ak1ak2akn an1an2ann

= a11a12a1n aj1+λak1aj2+λak2ajn+λakn ak1ak2akn an1an2ann =det A'


Addition von Spalten der Determinante

Addition einer Spalte der Determinante mit dem Vielfachen einer anderen Spalte. Der Wert einer Determinanten ändert sich nicht, wenn ein Vielfaches einer anderen Spalte zu der Spalte addiert wird.

det A= a11a1ja1ka1n a21a2ja2ka2n an1anjankann

= a11a1j+λa1ka1ka1n a21a2j+λa2ka2ka2n an1anj+λankankann

Multiplikationssatz

Die Determinante des Produkts zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der Matrizen.

det(AB)=det(A)det(B)

Daraus folgt auch die folgende Beziehung.

det(Ak)=det(A)k

Transpositionssatz und Inverse

Transpositionssatz

Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der Matrix selbst.

det(AT)=det(A)

Inverse

Die Determinante der inversen einer Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante der Matrix selbst.

det(A-1)=det(A)-1=1det A

Kästchensatz

If a determinant has the following block structure with square boxes B and D, its determinant can be calculated as the product of the determinants of B and D.

det A= BC 0D = det(B)det(D)

det A= B0 CD = det(B)det(D)


Berechnung der Determinante

Determinante einer 0x0 Matrix

Die Determinante einer 0x0 Matrix ist definiert als 1.

Determinante einer 1x1 Matrix

Für eine 1x1 - Matrix also eine Matrix mit nur einem Element ist die Determinante durch das Element selbst gegeben.

det A= a11 =a11

Determinante einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 - Matrix berechnet sich die Determinante folgendermaßen.

det A= a11a12 a21a22 =a11a22-a21a12

Sarrus-Regel

Die Sarrussche Regel besagt, dass die Determinante einer quadratischen 3x3 Matrix berechnet wird, indem man die Summe der Produkte der Hauptdiagonalen von der Summe der Produkte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Determinante einer 3x3 Matrix nach der Sarrus-Regel

Am Beispiel einer 3x3 Matrix wird die Determinante folgendermaßen nach der Sarrus-Regel berechnet. Schematisch werden die Spalten der Determinante wiederholt, so dass die Haupt- und Nebendiagonalen übersichtlich dargestellt sind. Dann bildet man die Produkte der Hauptdiagonalen und addiert diese. Mit den Nebendiagonalen verfährt man ebenso. Die Differenz aus beiden ergibt die Determinante der Matrix.

Determinante

Rechner für die Berechnung der Determinante einer 3x3 Matrix.

det A= a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33

Eingabefelder für die Elemente der 3x3 Matrix.

a11= a12= a13=

a21= a22= a23=

a31= a32= a33=

Determinante einer NxN Matrix

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz gibt ein Verfahren zur Berechnung der Determinante an, bei dem die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt wird. Dabei wird die Dimension reduziert und kann schrittweise immer weiter reduziert werden bis zum Skalar.

det A= i = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Entwicklung nach der j-ten Spalte )

det A= j = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Entwicklung nach der i-ten Zeile )

wobei Aij die Untermatrix von A ist, die entsteht wenn die Zeile i und die Spalte j gestrichen werden.

Beispiel für die Entwicklung nach der j-ten Zeile.

det A= a11a12a1n aj1aj2ajn an1an2ann

=aj1 a12a1n aj-12aj-1n aj+12aj+1n an2ann

-aj2 a11a13a1n aj-11aj-13aj-1n aj+11aj+13aj+1n an1an3ann

±±ajn a11a12a1n-1 aj-11aj-12aj-1n-1 aj+11aj+12aj+1n-1 an1an2ann-1

Reduzierung einer 4x4 Matrix nach dem Laplaceschen-Entwicklungssatz

Am Beispiel einer 4x4 Matrix wird die Berechnung der Determinante auf die Berechnung von 3x3 Determinanten zurückgeführt. Der Beispielrechner entwickelt die Determinante nach der zweiten Zeile.

Rechner für die Determinante einer 4x4 Matrix.

det A= a11a12a13a14 a21a22a23a24 a31a32a33a34 a41a42a43a44

Eingabefelder für die Elemente der 4x4 Matrix.

a11= a12= a13= a14=

a21= a22= a23= a24=

a31= a32= a33= a34=

a41= a42= a43= a44=

Gauß-Verfahren

Mit dem Gauß-Verfahren wird die Determinante so umgeformt, dass die Elemente der unteren Dreiecksmatrix Null werden. Dazu werden die Regeln Zeilenfaktor und Addition von Zeilen verwendet. Die Addition von Zeilen verändert den Wert der Determinate nicht. Faktoren einer Zeile müssen als Multiplikatoren vor der Determinate berücksichtigt werden. Bringt man die Determinate in Dreiecksform und sind die Hauptdiagonalelemente gleich Eins dann entspricht der Faktor vor der Determinante dem Wert der Determinante selbst.

det A= a11a12a1n aj1aj2ajn an1an2ann

=λ 1a12a1n 01ajn 001 =λdet A'=λ

Rechner zur Berechnung der Determinate nach dem Gauß-Verfahren

Hinweis

Sollten führende Koeffizienten Null sein müssen vor der Verwendung Spalten bzw. Zeilen entsprechend vertauscht werden, so dass eine Divison durch den führenden Koeffizienten möglich ist. Der Wert für die Determinante ist korrekt wenn nach den Umformungen die untere Dreiecksmatrix Null ist und die Elemente der Hauptdiagonalen alle gleich 1 sind.

Dimension der Matrix N =

Anzahl der Stellen =

Eingabe der Matrixelemente: a11, a12, ...

Umformung der Determinate