icon-Matrix Mathe Tutorial: Matrizen­rechnung

Rechen­regeln

Rechner

Begriff Matrix

Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt. James Joseph Sylvester (* 3. September 1814 in London; † 15. März 1897 ebenda) war ein britischer Mathematiker. Vor den Matrizen wurden bereits die Determinanten als Eigenschaft der linearen Gleichungssysteme gegen Ende des 16 Jahrhunderts von Cardano untersucht. Ca. 100 Jahre später führte Leibniz die Untersuchungen auf allgemeiner Basis weiter.

Schon 200 v.Chr. waren den chinesischen Mathematikern Lösungsverfahren für 3x3 Gleichungssystemen bekannt. Sie erkannten das die Lösung linearer Gleichungssysteme nur von den Koeffizienten abhing. Sie führten dafür eine Matrixschreibweise ein.

Als algebraische Objekte wurden Matrizen von Carl Friedrich Gauß eingeführt, jedoch nicht für lineare Gleichungssysteme, sondern um lineare Abbildungen zu beschreiben.

Der erste, der Matrizen systematisch als algebraische Objekte untersuchte, war Arthur Cayley (1821-1895). Er erkannte den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Gleichungssystemen und definierte Summe, skalares Vielfaches und Produkt für Matrizen. Desweiteren erklärte er das Inverse eine Matrix.

Eine vollständige Klassifikation der komplexen Matrizen beruht auf der Jordanschen Normalform, die von Camille Jordan (1838-1922) eingeführt wurde.

Matrix

Als Matrix bezeichnet man Elemente aij, die in einem 2-dimensionalen rechteckigen Schema angeordnet sind. Besteht das Schema aus m-Zielen und n-Spalten so spricht man von einer (m,n)-Matrix. Die Position eines Elements innerhalb der Matrix wird durch zwei Indizies gekennzeichnet. Der erste Index gibt die Zeilennummer und der zweite Index die Spaltennummer an. Die Nummerierung beginnt links oben in der Matrix und verläuft von links nach rechts bzw. von oben nach unten. Matrix

Gilt für eine Matrix n = m so bezeichnet man die Matrix als quadratische Matrix.

Hauptdiagonale

Die Elemente der Matrix für deren Indizies gilt i = j, also die Elemente aii sind die Diagonalelemente. Ihre Gesamtheit bildet die Hauptdiagonale der Matrix. Die Elemente von links unten bis rechts oben werden als Nebendiagonale bezeichnet. Spricht man von den Hauptiagonalen so schließt man die Reihen parallel zur Hauptdigonalen mit ein. Dies gilt analog für die Nebendiagonalen. Matrix-Diagonale

Einheitsmatrix

Die Matrix bei der alle Elemente der Hauptdiagonale gleich 1 sind und alle anderen Elemente gleich 0 sind heißt Einheitsmatrix E. Einheitsmatrix

Transponierte Matrix

Die an der Hauptdiagonalen gespiegelte Matrix wird als transponierte Matrix bezeichnet. Für eine Matrix A = ( aij ) ist die transponierte Matrix gegeben durch AT = ( aji ). Die transponierte einer transponierten Matrix ergibt die Matrix selbst d.h. A = (AT)T.

Transponierte-Matrix

Determinante

Jeder quadratischen Matrix läßt sich eine eindeutige Zahl zuordnen, die als Determinante ( det(A) ) der Matrix bezeichnet wird.

Determinante

3x3 Determinanten berechnet indem die Elemente jeder Hauptdiagonalen multipliziert und dann die Werte addiert. Davon werden die Werte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Determinante

Größere Determinanten führt man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz auf kleinere Determinanten zurück. Bei diesem Verfahren wird die Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt.

Laplace

Rechenregeln für Matrizen

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ:

A *( B * C ) = ( A * B ) * C


Die Matrizenmultiplikation und Matrizenaddition sind distributiv:

A *( B + C ) = A * B + A * C


Für die Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen λ, μ:

(λ+ μ)A = λA + μB


und: λ (A + B) = λA + λB


Es gibt Nullteiler d.h. Matrizen A ≠ 0 und B ≠ 0 für die gilt

A * B = 0


Für quadratische Matrizen gilt

det(A * B) = det(A) * det(B)

Inverse Matrix

Die inverse Matrix A-1 ist durch folgende Gleichung definiert

A * A-1 = E

Matrizen, für die eine Inverse existiert bezeichnet man als reguläre Matrizen. Die Determinante einer invertierbaren Matrix ist ungleich Null. Matrizen die keine Inverse haben als singuläre Matrizen.

Für die inverse Matrix gelten folgende Rechenregeln:

(A * B)-1 = A-1 * B-1

((A)-1)-1 = A

Die Berechnung der inversen Matrix A-1 erfolgt entweder mittels des Gauß-Jordan Algorithmus oder über die Adjunkte. Das Gauß-Jordan Verfahren überführt die Matrix (A|E) in die Form (E|A-1) aus der man A-1 direkt ablesen kann. Mit der Adjunkten und der Determinante kann die Inverse direkt angegeben werden als A-1=1/det(A) * adj(A).

Klassen von Matrizen

Eine quadratische Matrix A heißt

symetrische Matrix, wenn gilt AT = A

schiefsymetrische Matrix, wenn gilt AT = -A

orthogonale Matrix, wenn gilt AT = A-1

Matrizenrechnung

Rechenregeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Skalarmultiplikation, Inverse, Adjunkte und Determinante mit Online-Rechner.

Matrizenaddition

Die Addition zweier Matrizen A und B erfolgt indem man die Elemente der Matrizen addiert. C = A + B mit ci,j = ai,j + bi,j

a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm +

b11b12b1m b21b22b2m bn1bn2bnm =

a11+b11a12+b12a1m+b1m a21+b21a22+b22a2m+b2m an1+bn1an2+bn2anm+bnm

Rechner für die Addition zweier Matrizen.

 

+

 

 

=

 

Matrizensubtraktion

Die Subtraktion zweier Matrizen A und B erfolgt indem man die Elemente der Matrizen subtrahiert. C = A - B mit ci,j = ai,j - bi,j

a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm -

b11b12b1m b21b22b2m bn1bn2bnm =

a11-b11a12-b12a1m-b1m a21-b21a22-b22a2m-b2m an1-bn1an2-bn2anm-bnm

Rechner für die Subtraktion zweier Matrizen.

 

-

 

 

=

 

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar λ erfolgt indem man jedes Matrixelemente mit dem Skalar multipliziert. λ ⋅ A = λ ⋅ ai,j

λ a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm = λa11λa12λa1m λa21λa22λa2m λan1λan2λanm

Rechner für die Matrixmultiplikation mit einem Skalar.

 

 

 

 

 

=

 

Matrixmultiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen A und B setzt voraus, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Das Produkt ergibt sich indem man die Zeilen und Spaltenelemente multipliziert und aufsummiert. Für das erste Element der Ergebnismatrix werden die Elemente der ersten Zeile der ersten Matrix mit den Elementen der ersten Spalte der zweiten Matrix multipliziert und aufsummiert. Für die weiteren Elemente analog mit den weiteren Zeilen und Spalten.

a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm

b11b12b1j b21b22b2j bm1bm2bmj =

k=1ma1kbk1k=1ma1kbk2k=1ma1kbkj k=1ma2kbk1k=1ma2kbk2k=1ma2kbkj k=1mankbk1k=1mankbk2k=1mankbkj

Rechner für die Multiplikation zweier quadratischer 3x3 Matrizen.

 

 

 

=

 

Rechner für die Multiplikation einer 2x4 Matrix mit einer 4x2 Matrix.

 

 

 

=

 


Determinante einer Matrix

Determinante einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 - Matrix berechnet sich die Determinante folgendermaßen.

det A= a11a12 a21a22 =a11a22-a22a12

Determinante einer 3x3 Matrix

Die Determinante einer quadratischen 3x3 Matrix wird nach der Sarrus-Regel berechnet indem man die Summe der Produkte der Hauptdiagonalen von der Summe der Produkte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Determinate

Rechner für die Determinante einer 3x3 Matrix.

 

det

 

 

=

 

Determinante einer NxN Matrix

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz gibt ein Verfahren zur Berechnung der Determinante an, bei dem die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt wird. Dabei wird die Dimension reduziert und kann schrittweise immer weiter reduziert werden bis zum Skalar.

det A= i = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Entwicklung nach der j-ten Spalte )

det A= j = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Entwicklung nach der i-ten Zeile )

wobei Aij die Untermatrix von A ist, die entsteht wenn die Zeile i und die Spalte j gestrichen werden.


Berechnung der inversen Matrix nach Gauß-Jordan

Gesucht ist die inverse Matrix A-1 zur Matrix A. Dazu wird zunächst mit der Einheitsmatrix E die Matrix (A|E) gebildet. Durch geeignete Umformungen gelang man zu der Form (E|A-1). Im folgenden werden die erforderlichen Schritte an einem Beispiel durchgeführt.

A= a11a12a1N a21a22a2N aN1aN2aNN

Ansatz nach Gauss-Jordan

AE= a11a12a1N a21a22a2N aN1aN2aNN 100 010 001

Ziel ist es durch geeignete Umformungen die Matrix in die folgende Form zu überführen.

EA-1= 100 010 001 b11b12b1N b21b22b2N bN1bN2bNN

Rechner Inverse Matrix mit Lösungsweg

Hinweis

Der Rechner prüft nicht die Invertierbarkeit oder die Konditionierung der Matrix. Ein gültiges Ergebnis liegt vor, wenn im letzten Rechenschritt auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Andernfalls kann evtl. durch Vertauschen von Zeilen oder Spalten die Lösbarkeit hergestellt werden.

Dimension der Matrix N =

Anzahl der Stellen =

Eingabe der Matrixelemente: a11, a12, ...

Die eingegebene Matrix lautet:


Berechnung der Adjunkten einer Matrix

Die Adjunkte wird häufig zur Berechnung der Inversen einer quadratischen Matrix verwendet. Zur Definition der Adjunkten ist es sinnvoll zunächst einige Begriffe zu definieren.

Minoren

Die Minoren einer Matrix A werden gebildet, indem zu jedem Matrixelement aij die Unterdeterminante durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte bildet. Die Werte dieser Determinanten sind die Minoren mij der Matrix A.

mij= a11a12a1,j-1a1,j+1a1n ai-1,1ai-1,2ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,n ai+1,1ai+1,2ai+1,j-1ai+1,j+1ai+1,n an1an2an,j-1an,j+1ann

Kofaktormatrix

Die Kofaktormatrix Cof(A) einer Matrix A wird aus den Minoren gebildet, indem jeder Minor mij mit einem Vorzeichen (-1)i+j multipliziert wird. Die Elemente der Kofaktormatrix sind also a*ij=(-1)i+j * mij .

aij*=-1i+jmij=-1i+j a11a12a1,j-1a1,j+1a1n ai-1,1ai-1,2ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,n ai+1,1ai+1,2ai+1,j-1ai+1,j+1ai+1,n an1an2an,j-1an,j+1ann

CofA= +m11-m12+m13 -m21+m22-m23 +m31-m32+m33 = a11*a12*a1n* a21*a22*a2n* an1*an2*ann*

Damit ist die Adjunkte der Matrix A folgendermaßen definiert.

adj(A)=CofAT= a11*a21*an1* a12*a22*an2* a1n*a2n*ann*

Inverse Matrix mittels Adjunkte

A-1=1det(A)adj(A)

Hinweis

Bei den Begriffen und Definitionen zur Adjunkten kann es leicht zu Missverständnissen kommen. In der Literatur finden sich unterschiedliche Definitionen der Adjunkten. Manchmal wird die Kofaktormatrix als Adjunkte verwendet. Desweiteren ist zu beachten, dass die Adjunkte nicht die adjungierte Matrix ist. Die adjungierte Matrix ist für reelle Matrizen gleich der transponierten Matrix und für komplexe Matrizen die Transponierte mit konjugierte komplexen Elementen.

Rechner zur Berechnung der Adjunkten

A= a11a12a1N a21a22a2N aN1aN2aNN

Dimension der Matrix N =

Anzahl der Stellen =

Eingabe der Matrixelemente: a11, a12, ...

Die eingegebene Matrix lautet: