Matrizen­rechnung mit Online-Rechnern

Begriff Matrix

Als Matrix bezeichnet man Elemente aij, die in einem 2-dimensionalen rechteckigen Schema angeordnet sind. Besteht das Schema aus n-Zeilen und m-Spalten so spricht man von einer (n x m)-Matrix. Die Position eines Elements innerhalb der Matrix wird durch zwei Indizies gekennzeichnet. Der erste Index gibt die Zeilennummer und der zweite Index die Spaltennummer an. Die Nummerierung beginnt links oben in der Matrix und verläuft von links nach rechts bzw. von oben nach unten. Gilt für eine Matrix n = m so bezeichnet man die Matrix als quadratische Matrix.

A=(aij)= ( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm )

Hauptdiagonale

Die Elemente der Matrix für deren Indizies gilt i = j, also die Elemente aii sind die Diagonalelemente. Ihre Gesamtheit bildet die Hauptdiagonale der Matrix. Die Elemente von links unten bis rechts oben werden als Nebendiagonale bezeichnet. Spricht man von den Hauptiagonalen so schließt man die Reihen parallel zur Hauptdigonalen mit ein. Dies gilt analog für die Nebendiagonalen.

Hier sind die Hauptdiagonalelemente rot dargestellt:

( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm )

und die Nebendiagonalelemente grün:

( a11a12a1m-1a1m a21a22a2m-1a2m an1an2anm-1anm )

Einheitsmatrix

Die Matrix bei der alle Elemente der Hauptdiagonale gleich 1 sind und alle anderen Elemente gleich 0 sind heißt Einheitsmatrix E.

E= ( 100 010 001 )

Transponierte Matrix

Die an der Hauptdiagonalen gespiegelte Matrix wird als transponierte Matrix bezeichnet. Für eine Matrix A = ( aij ) ist die transponierte Matrix gegeben durch AT = ( aji ). Die transponierte einer transponierten Matrix ergibt die Matrix selbst d.h. A = (AT)T.

AT=(aij)T= ( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm )T= ( a11a21an1 a12a22an2 a1ma2manm )

Determinante

Jeder quadratischen Matrix läßt sich eine eindeutige Zahl zuordnen, die als Determinante ( det(A) ) der Matrix bezeichnet wird.

det A= σ Sn ( sgn (σ) Π i = 1 n Aiρ(i) )

wobei die Summe über alle Permutationen σ zu erstrecken ist. Man bildet also aus den Elementen von A alle möglichen Produkte zu je n-Elementen in der Weise, dass jedes der Produkte aus jeder Zeile und Spalte genau ein Element enthält. Diese Produkte werden addiert und die Summe ist die Determinante von A. Das Vorzeichen der Summanden ist positiv bei geraden Permutationen und negativ bei ungeraden Permutationen.

Rechenregeln für Matrizen

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ:

A(BC)=(AB)C

Die Matrizenmultiplikation und Matrizenaddition sind distributiv:

A(B+C)=AB+AC

Für die Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen λ, μ gilt:

(λ+μ)A=λA+μA

und:

λ(A+B)=λA+λB

Es gibt Nullteiler d.h. Matrizen A ≠ 0 und B ≠ 0 für die gilt:

AB=0

Für quadratische Matrizen gilt:

det(A+B)=det(A)+det(B)

Inverse Matrix

Die inverse Matrix A-1 ist durch folgende Gleichung definiert

AA-1=E

Matrizen, für die eine Inverse existiert bezeichnet man als reguläre Matrizen. Die Determinante einer invertierbaren Matrix ist ungleich Null. Matrizen die keine Inverse haben als singuläre Matrizen.

Für die inverse Matrix gelten folgende Rechenregeln:

(AB)-1=A-1B-1

(A-1)-1=A

Die Berechnung der inversen Matrix A-1 erfolgt entweder mittels des Gauß-Jordan Algorithmus oder über die Adjunkte. Das Gauß-Jordan Verfahren überführt die Matrix (A|E) in die Form (E|A-1) aus der man A-1 direkt ablesen kann. Mit der Adjunkten und der Determinante kann die Inverse direkt angegeben werden.

A-1=1det(A)adj(A)T

Klassen von Matrizen

Eine quadratische Matrix A heißt symetrische Matrix, wenn gilt AT = A und eine schiefsymetrische Matrix, wenn gilt AT = -A. Eine orthogonale Matrix, wenn gilt AT = A-1

Adjunkte Matrix

Die Adjunkte der Matrix A wird so berechnet, dass für jedes Matrixelement aij eine Subdeterminante bestimmt wird, indem die Zeile i und die Spalte j entfernt werden. Der Wert dieser Determinante wird mit (-1)i+j multipliziert, was das Element i,j der adjungierten Matrix ergibt.

Matrizenrechnung

Matrizenaddition

Die Addition zweier Matrizen A und B erfolgt indem man die Elemente der Matrizen addiert. C = A + B mit ci,j = ai,j + bi,j

( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm ) + ( b11b12b1m b21b22b2m bn1bn2bnm ) = ( a11+b11a12+b12a1m+b1m a21+b21a22+b22a2m+b2m an1+bn1an2+bn2anm+bnm )

Rechner für die Addition zweier Matrizen:

 

+

 

 

=

 

Rechner für die Addition und Subtraktion von NxM Matrizen: Matrixaddition und -subtraktion MxN

Matrizensubtraktion

Die Subtraktion zweier Matrizen A und B erfolgt indem man die Elemente der Matrizen subtrahiert. C = A - B mit ci,j = ai,j - bi,j

( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm ) - ( b11b12b1m b21b22b2m bn1bn2bnm ) = ( a11-b11a12-b12a1m-b1m a21-b21a22-b22a2m-b2m an1-bn1an2-bn2anm-bnm )

Rechner für die Subtraktion zweier Matrizen:

 

-

 

 

=

 

Rechner für die Addition und Subtraktion von NxM Matrizen: Matrixaddition und -subtraktion MxN

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar λ erfolgt indem man jedes Matrixelemente mit dem Skalar multipliziert. λ ⋅ A = λ ⋅ ai,j

λ ( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm ) = ( λa11λa12λa1m λa21λa22λa2m λan1λan2λanm )

Rechner für die Matrixmultiplikation mit einem Skalar:

 

 

 

 

 

=

 

Matrixmultiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen A und B setzt voraus, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Das Produkt ergibt sich indem man die Zeilen und Spaltenelemente multipliziert und aufsummiert. Für das erste Element der Ergebnismatrix werden die Elemente der ersten Zeile der ersten Matrix mit den Elementen der ersten Spalte der zweiten Matrix multipliziert und aufsummiert. Für die weiteren Elemente analog mit den weiteren Zeilen und Spalten.

( a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm ) ( b11b12b1j b21b22b2j bm1bm2bmj ) = ( k=1m(a1kbk1)k=1m(a1kbk2)k=1m(a1kbkj) k=1m(a2kbk1)k=1m(a2kbk2)k=1m(a2kbkj) k=1m(ankbk1)k=1m(ankbk2)k=1m(ankbkj) )

Rechner für die Multiplikation zweier quadratischer 3x3 Matrizen:

 

 

 

=

 

Rechner für die Multiplikation einer 2x4 Matrix mit einer 4x2 Matrix:

 

 

 

=

 

Rechner für die Multiplikation von NxM Matrizen: Matrix­multiplikation

Sarrus Regel

Die Determinante einer quadratischen 3x3 Matrix wird nach der Sarrus-Regel berechnet indem man die Summe der Produkte der Hauptdiagonalen von der Summe der Produkte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Determinate

Rechner für die Determinante einer 3x3 Matrix:

 

det

 

 

=

 

Ein allgemeiner Determinantenrechner: Determinante NxN

Berechnung der inversen Matrix nach Gauß-Jordan

Gesucht ist die inverse Matrix A-1 zur Matrix A. Dazu wird zunächst mit der Einheitsmatrix E die Matrix (A|E) gebildet. Durch geeignete Umformungen gelang man zu der Form (E|A-1). Im folgenden werden die erforderlichen Schritte an einem Beispiel durchgeführt.

A= ( a11a12a1N a21a22a2N aN1aN2aNN )

Ansatz nach Gauss-Jordan

(A|E)= ( a11a12a1N a21a22a2N aN1aN2aNN | 100 010 001 )

Ziel ist es durch geeignete Umformungen die Matrix in die folgende Form zu überführen.

(E|A-1)= ( 100 010 001 | b11b12b1N b21b22b2N bN1bN2bNN )

Ein Rechner für die inverse Matrix: Inverse Matrix

Berechnung der Adjunkten einer Matrix

Die Adjunkte der Matrix A wird so berechnet, dass für jedes Matrixelement aij eine Subdeterminante bestimmt wird, indem die Zeile i und die Spalte j entfernt werden. Der Wert dieser Determinante wird mit (-1)i+j multipliziert, was das Element i,j der adjungierten Matrix ergibt.

aij*=(-1)(i+j) | a11a12a1,j-1a1,j+1a1n ai-1,1ai-1,2ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,n ai+1,1ai+1,2ai+1,j-1ai+1,j+1ai+1,n an1an2an,j-1an,j+1ann |

Das Ergebnis ist die adjungierte Matrix.

adj(A)= ( a11*a12*a1n* a21*a22*a2n* an1*an1*ann* )

Ein Rechner für die Adjunkte:Adjunkte Matrix

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