Die Kombinatorik ist die Lehre von der Zusammenstellung abzählbar vieler Objekte. Dabei steht im Allgemeinen die Anzahl der Möglichkeiten für eine gewisse Zusammenstellung im Vordergrund, da sich daraus eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zusammenstellung ableiten lässt. Man unterscheidet bei den Zusammenstellungen zwischen Permutationen, Variationen und Kombinationen der Objekte.
Zusammenstellung der Grundfunktionen für die Kombinatorik.
Die Funktion f(n) = n! für die gilt f(0) = 1 und f(n) = n ⋅ f(n-1) heißt n-Fakultät.
Beispiel: 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
Die für alle natürlichen Zahlen definierte Funktion heißt Binomialkoeffizient.
Der Binomialfoeffizient ist folgendermaßen definiert:
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
Symmetriesatz:
Additionssatz:
Binomischer Satz
Für alle reellen Zahlen a und b und alle natürlichen Zahlen n gilt der binomische Satz:
Rechner: Binomialkoeffizient
Rechner: Binomischer Satz
Die Binomialkoeffizienten sind ein Spezialfall der allgemeineren Polynomialkoeffizienten. Die Polynomialkoeffizienten sind erklärt für alle natürlichen n und alle r-Tupel natürlicher ki für die die Summe gleich n ist.
Die Polynomialkoeffizienten sind folgendermaßen definiert:
Beispiel
Polynomischer Satz
Für alle r-Tupel reeller Zahlen a1, a2, ..., ar und alle natürlichen Zahlen n gilt der polynomische Satz. Dabei ist die Summe über alle Kombinationen der r-Tupel zu bilden für die die Summe gleich n ist.
Als Permutation Pk bezeichnet man die Aneinanderreihung von k Elementen unter Beachtung der Position der Elemente in der Reihe. Eine Fragesteluung der Kombinatorik ist wie viele Anordnungen A von k Elementen gibt es.
Es gilt:
Als Variation Vkr ohne Wiederholung bezeichnet man die geordnete Auswahl von r Elementen aus einer Gesamtheit von k Elementen. Der Unterschied zu Kombinationen besteht in der Beachtung der Reihenfolge. Wenn z.B. an einem Turnier k Mannschaften teilnehmen ist die Anzahl der möglichen drei Erstplazierten eine Variation ohne Wiederholungen da jede Mannschaft nur einen Platz belegen kann und die Position unter den ersten drei relevant ist.
Es gilt für Variationen ohne Wiederholungen:
Es gilt für Variationen mit Wiederholungen:
Als Kombination Ckr bezeichnet man die Auswahl von r Elementen aus einer Gesamtheit von k Elementen. Im Gegensatz zu den Variationen spielt die Reihenfolge keine Rolle. Z.B. sind die Lottozahlen eine Kombination ohne Wiederholung, da die gezogenen Zahlen nicht zurückgelegt werden.
Es gilt für Kombinationen ohne Wiederholungen:
Es gilt für Kombinationen mit Wiederholungen:
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