Rechner Binomischer Satz und Bionominalkoeffizient

Rechner: Binomialkoeffizient

n=

k=

Rechner: Binomischer Satz

n=

Binominalkoeffizienten und Binomischer Satz

Die für alle natürlichen Zahlen definierte Funktion

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ heißt Binomialkoeffizient.

Der Binomialfoeffizient ist folgendermaßen definiert:

$$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{\mathrm{n!}}{\mathrm{k!}\left(n-k\right)!}\text{mit}0\le k\le n\text{andernfalls ist}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=0$$

Eigenschaften der Binomialkoeffizienten

Symmetriesatz:

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)$

Additionssatz:

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ k+1\end{array}\right)$

Binomischer Satz

Für alle reellen Zahlen a und b und alle natürlichen Zahlen n gilt der binomische Satz:

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)a^{n-k}{b}^k=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)a^n{b}^0+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}{b}^1+...+\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{n}\end{array}\right)a^0{b}^n$

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