Newton-Verfahren

Grafische Darstellung des Newton-Verfahrens

Das Diagramm zeigt die ausgwählte Anzahl von Iterationen ausgehend vom Startpunkt. Die gepunkteten Linien zeigen den Startpunkt der nächsten Iteration. Der Startpunkt kann in der Grafik durch ziehen des Punktes variiert werden.

Wertetabelle für die Iterationsschritte der Newton-Methode

Beschreibung des Newton-Verfahrens

Das Newton-Verfahren, auch als Newton-Raphson-Verfahren bekannt, ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen. Es wurde von Sir Isaac Newton im 17. Jahrhundert entwickelt und basiert auf der Idee, dass eine Funktion in der Nähe einer Nullstelle durch ihre Tangente approximiert werden kann. Das Newton-Verfahren verwendet die Idee der Iteration, die bedeutet, dass es mehrere Schritte durchläuft, um eine Näherung der Nullstelle zu finden. Der Prozess besteht darin, eine Anfangsschätzung für die Nullstelle (x0) zu wählen und dann die Gleichung der Tangente der Funktion an diesem Punkt zu verwenden, um eine neue Schätzung (x1) zu finden. Dieser Prozess wiederholt sich, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht wird.

Die Schritte des Newton-Verfahrens sind:

• Wählen Sie eine Anfangsschätzung x0.
• Berechnen Sie die erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) an der Stelle x0.
• Berechnen Sie die neue Schätzung x1 mit der Formel x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

Wiederholen der Schritte, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wird.

Das Newton-Verfahren kann sehr schnell zur Lösung von Nullstellen von Funktionen konvergieren, aber es hat einige Einschränkungen. Es ist nicht immer garantiert, dass es zur Lösung konvergiert und es erfordert die Kenntnis der ersten Ableitung der Funktion. Es ist auch nicht für alle Funktionen geeignet und es kann zu unerwünschten Ergebnissen führen, wenn die Anfangsschätzung nicht gut gewählt wird.

Ziel des Newton-Verfahrens ist es eine Nullstelle einer im allgemeinen nichtlinearen Funktion zu finden. D.h. eine Lösung der Gleichung

$f\left(x\right)=0$

zu finden. Um dies zu erreichen, wird die Funktion an einer Stelle x₀ linearisiert indem die Funktion durch ihre Tangente ersetzt wird. Also durch eine Geradengleichung die durch den Punkt (x₀, f(x₀)) geht mit der Steigung f'(x₀).

Die allgemeine Form der Geradengleichung ist

$y=ax+b$

Einsetzen der Bedingungen liefert

$f\left(x_0\right)=f\prime \left(x_0\right)x_0+b$

Auflösen nach b ergibt

$b=f\left(x_0\right)-f\prime \left(x_0\right)x_0$

Damit ist die Geradengleichung vollständig bestimmt

$y=f\prime \left(x_0\right)x+f\left(x_0\right)-f\prime \left(x_0\right)x_0=f\left(x_0\right)+f\prime \left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Die gesuchte Nullstelle von f wird jetzt durch die Nullstelle der Geradengleichung als erste Näherung ersetzt.

$0=f\left(x_0\right)+f\prime \left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Auflösen nach x gibt die erste Näherung für die Nullstelle.

$x=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f\prime \left(x_0\right)}$

Die Iteration besteht darin diese Näherung als Ausgangspunkt für die nächste Näherung zu verwenden. Der Iterationsprozess lautet dann folgendermaßen:

$x_{\mathrm{n+1}}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f\prime \left(x_n\right)}$

mit einem beliebigen Startwert x₀. Gegen welche und ob überhaupt das Newton-Verfahren konvergiert hängt sensibel von der Wahl des Startwerts ab.

Beispiel für das Newton-Verfahren

Das Beispiel zeigt die Iterationsschritte der Newton-Methode, um numerisch die Wurzel einer quadratischen Funktion zu finden.

Die Beispielfunktion ist:

$f\left(x\right)=x^2-x$

Die Ableitung ist:

$f\prime \left(x\right)=2x-1$

Wir verwenden folgenden Startwert:

$x_0=3.5$

Der erste Iterationsschritt ist:

$x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f\prime \left(x_0\right)}=3.5-\frac{8.75}{6.5}=2.04167$

Der Funktionswert beim ersten Iterationsschritt ist:

$f\left(x_1\right)=2.12674$

$f\prime \left(x_1\right)=3.08334$

Der zweite Iterationsschritt ist also:

$x_2=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f\prime \left(x_1\right)}=2.04167-\frac{2.12674}{3.08334}=1.35192$

Und so weiter für weitere Iterationsschritte.

Screenshot der Abbildungen

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