Newton-Verfahren

Grafische Darstellung des Newton-Verfahrens

Das Diagramm zeigt die ausgwählte Anzahl von Iterationen ausgehend vom Startpunkt. Die gepunkteten Linien zeigen den Startpunkt der nächsten Iteration. Der Startpunkt kann in der Grafik durch ziehen des Punktes variiert werden.

Skalierung:
Anzahl der Iterationen=
Startwert x0=
Stellen=
Funktion f(x):
Tangente:

Werte der Parameter

a=
b=
c=

Wertebereich der Achsen

x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Wertebereich der Parameter

a-min=
a-max=
b-min=
b-max=
c-min=
c-max=

Wertetabelle für die Iterationsschritte der Newton-Methode

f(x)=

clear

Berechnung

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

y

z

4

5

6

*

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln(x)

xa

^

asin

acos

atan

x2

x

x3

x4

()()

sinh

cosh

ax+cbx+c

a+xb+x

x2-a2x2+a2

1a+bx

1+x1-x

x+a

eax

ex

ae-bx2+c

sin(x)cos(x)

ax2+bx+c

exsin(x)cos(x)

1ax

aebx+c

eax

eax2

1eax

xex

1sin

1cos

1tan

asin(bx+c)

acos(bx+c)

atan(bx+c)

asin2(bx+c)

Notation: Die Funktion muß in Javascript Syntax eingegeben werden.

Parameter: Drei Konstanten a, b und c sind Verfügbar und können mittels der Slider verändert werden. Der Startpunkt der Iteration wird durch ein schwarzes Kreuz in der Grafik angezeigt und kann verschoben werden.

Beschreibung des Newton-Verfahrens

Ziel des Newton-Verfahrens ist es eine Nullstelle einer im allgemeinen nichtlinearen Funktion zu finden. D.h. eine Lösung der Gleichung

fx=0

zu finden. Um dies zu erreichen, wird die Funktion an einer Stelle x0 linearisiert indem die Funktion durch ihre Tangente ersetzt wird. Also durch eine Geradengleichung die durch den Punkt (x0, f(x0)) geht mit der Steigung f'(x0).

Die allgemeine Form der Geradengleichung ist

y=ax+b

Einsetzen der Bedingungen liefert

fx0=fx0x0+b

Auflösen nach b ergibt

b=fx0-fx0x0

Damit ist die Geradengleichung vollständig bestimmt

y=fx0x+fx0-fx0x0 =fx0+fx0x-x0

Die gesuchte Nullstelle von f wird jetzt durch die Nullstelle der Geradengleichung als erste Näherung ersetzt.

0=fx0+fx0x-x0

Auflösen nach x gibt die erste Näherung für die Nullstelle.

x=x0-fx0fx0

Die Iteration besteht darin diese Näherung als Ausgangspunkt für die nächste Näherung zu verwenden. Der Iterationsprozess lautet dann folgendermaßen:

xn+1=xn-fxnfxn

mit einem beliebigen Startwert x0. Gegen welche und ob überhaupt das Newton-Verfahren konvergiert hängt sensibel von der Wahl des Startwerts ab.

Beispiel für das Newton-Verfahren

Das Beispiel zeigt die Iterationsschritte der Newton-Methode, um numerisch die Wurzel einer quadratischen Funktion zu finden.

Die Beispielfunktion ist:

f(x)=x2-x

Die Ableitung ist:

f(x)=2x-1

Wir verwenden folgenden Startwert:

x0=3.5

Der erste Iterationsschritt ist:

x1=x0-f(x0)f(x0)=3.5-8.756.5=2.04167

Newton_Example_Step_1

Der Funktionswert beim ersten Iterationsschritt ist:

f(x1)=2.12674

f(x1)=3.08334

Der zweite Iterationsschritt ist also:

x2=x1-f(x1)f(x1) =2.04167-2.126743.08334=1.35192

Newton_Example_Step_2

Und so weiter für weitere Iterationsschritte.

Verwendbare Ausdrücke in der Definition der Funktion f(x)

Konstanten

NameBeschreibung
LN2Natürlicher Logarithmus von 2
LN10Natürlicher Logarithmus von 10
LOG2EBasis 2 Logarithmus von e
LOG10EBasis 10 Logarithmus von e
PIKreiszahl Pi
SQRT1_2Quadratwurzel von 1/2
SQRT2Quadratwurzel von 2

Trigonometrische Funktionen

FunktionBeschreibung
sin(x)Sinus
cos(x)Cosinus
tan(x)Tangens
asin(x)Arcussinus
acos(x)Arcuscosinus
atan(x)Arcustangens
atan2(y, x)Arcustangens von x/y
cosh(x)Cosinus hyperbolicus
sinh(x)Sinus hyperbolicus

Logarithmen und Exponenten

FunktionBeschreibung
pow(a,b)a hoch b
sqrt(x)Quadratwurzel
exp(x)e-Funktion
log(x), ln(x)Natürlicher Logarithmus
log(x, b)Logarithmus zur Basis b
log2(x), lb(x)Logarithmus zur Basis 2
log10(x), ld(x)Logarithmus zur Basis 10

Weitere Funktionen

FunktionBeschreibung
ceil(x)Kleinste ganze Zahl n mit n > x.
abs(x)Betrag
max(a, b, c, ...)Maximum
min(a, b, c, ...)Minimum
random()Zufallszahl
round(v)Rundung zur nächsten ganzen Zahl
floor(x)Größte ganze Zahl n mit n < x.
factorial(n)Fakultät
trunc(v, p = 0)Truncate
V(s)Wert des Sliders

Screenshot der Abbildungen

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