icon-Ableitung Mathe Tutorial: Differentialrechnung

Schreibweisen

d d x fx = fx

Ableitungen

d d x Const. = 0

d d x x = 1

d d x xn = nxn-1

Ableitung trigonometrischer Funktionen

d d x sin(x) = cos(x)

d d x cos(x) = -sin(x)

d d x sin(kx) = kcos(kx)

d d x cos(kx) = -ksin(kx)

d d x tan(x) = d d x sin(x) cos(x) = 1 cos2(x)

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktionen

d d x ex = ex

d d x ln(x) = 1x

d d x loga(x) = 1xloga(e)

Ableitungsrechner

f(x) =

cl

ok

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln

^

asin

acos

atan

x2

√x

xa

sinh

cosh

a⋅sin(b⋅x+c)

a⋅e(-b⋅x2+c)

a⋅x2+b⋅x+c

e(x)⋅sin(x)⋅cos(x)

Ableitungsregeln

Im folgenden werden die wichtigsten Ableitungsregeln beschrieben und an Beispielen erläutert.

  • Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim differenzieren erhalten
  • Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden
  • Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten
  • Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Quotienten
  • Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

Faktor- und Summenregel

Faktor-Summenregel

Die Summenregel besagt, dass die Summanden einzeln differenziert werden können.

d d x f1x + f2x = d d x f1x + d d x f2x

Ableitung der Summanden

Die Faktorregel besagt, dass die konstanten Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben.

d d x a fx = a d d x fx

Der konstante Faktor a bleibt beim Ableiten erhalten

Beispiel für Faktor- und Summenregel

fx = 2x2+ 2 3 x3

In der Beispielfunktion sind Summe und konstante Faktoren enthalten. Zum differenzieren werden beide Regeln angewendet.

d d x 2x2 + 2 3 x3 = d d x 2x2 + d d x 2 3 x3

Anwendung der Summenregel.

d d x 2x2 + d d x 2 3 x3 = 2 d d x x2 + 2 3 d d x x3

Anwendung der der Faktorregel in jedem Summanden.

2 d d x x2 + 2 3 d d x x3 =4x+2x2

Ableiten der Terme ergibt die Ableitung der Beispielfunktion f.

Produktregel

Produktregel

Die Produktregel gibt an wie das Produkt zweier Funktionen beim differenzieren zu behandeln ist. In Worten lässt sich die Produktregel so ausdrücken: Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion plus der ersten Funktion mal Ableitung der zweiten Funktion.

Beispiele für die Anwendung der Produktregel

Produktregel-Beispiel-2

Liegt ein Produkt aus mehr als zwei Funktionen vor, dann kann die Produktregel sukzessive verwendet werden, indem Funktionen beliebig zusammengefasst werden und die Produktregel mehrfach nacheinder angewendet wird.

Produktregel-Beispiel-3

Quotientenregel

Ableitungsregel-3

Die Quotientenregel gibt an wie der Quotient zweier Funktionen beim differenzieren zu behandeln ist.

Beispiel für die Anwendung der Quotientenregel

Quotientenregel-Beispiel

Kettenregel

Ableitungsregel-4

Die Kettenregel gibt an wie geschachtelte Funktionen beim differenzieren zu behandeln sind. Man unterscheidet dabei die innere Funktion und die äußere Funktion. Damit läßt sich die Kettenregel wie folgendermaßen formulieren: die Ableitung ist Ableitung der inneren Funktion mal der Ableitung der äußeren Funktion. Wobei bei der Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion insgesamt als Veränderliche betrachtet wird. D.h. es wird nicht nach x sondern nach der inneren Funktion g differenziert.

Beispiele für die Anwendung der Kettenregel

Kettenregel-Beispiel

Beispiele für die Anwendung der Ableitungsregeln

Die folgenden Beispiele zeigen die gemischte Anwendung der Ableitungsregeln.

Ableitungsregel-4

In diesem Beispiel werden Produkt- und Quotientenregel verwendet.

Ableitungsregel-4

In diesem Beispiel werden Produkt- und Kettenregel verwendet.

Ableitungsregel-4

In diesem Beispiel werden Summen-, Faktor- und Kettenregel verwendet.