Berechnung von Ableitungen

Ableitungsrechner

Eingabefeld für die abzuleitende Funktion:

clear

Ableitung ddxfx

weitere Ableitung dndxnfx

Plot

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

π

+

sin

cos

tan

ex

ln(x)

xa

μ

^

asin

acos

atan

x2

x

x3

x4

()()

sinh

cosh

ax+cbx+c

a+xb+x

x2-a2x2+a2

1a+bx

1+x1-x

x+a

eax

ex

ae-bx2+c

sinxcosx

ax2+bx+c

exsinxcosx

1ax

aebx+c

eax

eax2

1eax

xex

1sin

1cos

1tan

asinbx+c

acosbx+c

atanbx+c

asin2bx+c

Schreibweisen für Ableitungen

Für Ableitungen sind unterschiedliche Schreibweisen gebräuchlich. Die Verwendung der einen oder anderen hängt vom Kontext ab. Die am häufigsten verwendeten von Leibnitz, Euler, Lagrange and Newton sind im Folgenden angegeben.

Leibnitz Notation für Ableitungen

Die Ableitung in Leibnitz Notation für eine Funktion von x wird wie im Folgenden angegeben.

d d x f ( x ) = d f d x ( x ) = d f ( x ) d x

Gebräuchlich ist auch y = f(x) mit der folgenden Schreibweise.

d y d x

Zweite, dritte und höhere Ableitungen werden wie im Folgenden angegeben.

d 2 y d x 2 ; d 3 y d x 3 ; . . . ; d n y d x n ;

Lagrange Notation für Ableitungen

Die erste Ableitung in Lagrange Schreibweise wird durch einen ' an der Funktion angegeben.

f ( x )

Die höheren Ableitungen in Lagrange Notation werden wie im folgenden geschrieben.

f ( x ) ; f ( x ) ; f ( 4 ) ( x ) ; . . . ; f ( n ) ( x )

Euler Schreibweise für Ableitungen

Euler verwendet den D Operator für die Ableitung.

D f = d d x f ( x )

Newton Schreibweise für Ableitungen

Newton's Schreibweise wird auch Punkt Notation genannt. Die Notation verwendet Punkte um die Ableitung anzugeben. Diese Schreibweise wird in der Regel für zeitabhängige Funktionen verwendet.

f ˙ ( t ) = d f d t

Höhere Ableitungen in Newton Schreibweise.

f ¨ ( t ) = d 2 f d t 2 ; f ( t ) = d 3 f d t 3

Elementare Ableitungen

d d x Const. = 0

d d x x = 1

d d x xn = nxn-1

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Ableitungen trigonometrischer Funktionen

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Ableitungen von e- und Logarithmusfunktionen

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Ableitungen von Wurzeln

Ableitungsregeln

Im folgenden werden die wichtigsten Ableitungsregeln beschrieben und an Beispielen erläutert.

Ableitungsregeln kurz gefasst

Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim differenzieren erhalten

af = af

Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden

f1 + f2 = f1 + f2

Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten

uv = uv + uv

Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Brüchen

u v = uv-uv v2

Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

fgx = fggx

Faktor- und Summenregel

d d x f ( x ) = d d x ( a 1 f 1 ( x ) + a 2 f 2 ( x ) ) = d d x a 1 f 1 ( x ) + d d x a 2 f 2 ( x ) = a 1 d d x f 1 ( x ) + a 2 d d x f 2 ( x )

Die Summenregel besagt, dass die Summanden einzeln differenziert werden können.

Ableitung der Summanden

d d x f1x + f2x = d d x f1x + d d x f2x

Die Faktorregel besagt, dass die konstanten Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben.

Der konstante Faktor a bleibt beim Ableiten erhalten

d d x a fx = a d d x fx

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Beispiel für die Anwendung der Faktor- und Summenregel (öffnen durch Anwahl)

In der Beispielfunktion sind Summe und konstante Faktoren enthalten. Zum Differenzieren werden beide Regeln angewendet.

Im ersten Schritt wird die Summenregel angewendet. Im zweiten Schritt die Faktorregel auf jeden Summanden und schließlich ergibt das Ableiten der einzelnen Terme die Ableitung der Funktion.

Produktregel

d d x f ( x ) = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x u ( x ) + u ( x ) d d x v ( x ) = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x )

Die Produktregel gibt an wie das Produkt zweier Funktionen beim Differenzieren zu behandeln ist. In Worten lässt sich die Produktregel so ausdrücken: Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion plus der ersten Funktion mal Ableitung der zweiten Funktion.

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Beispiele für die Anwendung der Produktregel (öffnen durch Anwahl)

Im folgenden einige Beispiele für die Anwendung der Produktregel.

Produktregel Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird die Produktregel anhand einer Funktion die aus dem Produkt der Sinus- und der Cosinusfunktion besteht erläutert. Die Ableitung erfolgt nach der Produktregel so, dass die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor multipliziert wird und mit der Ableitung des zweiten Faktors multipliziert mit dem ersten Faktor addiert wird.

Produktregel Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird die Produktregel anhand einer Funktion die aus dem Produkt der Exponential- und der Sinusfunktion besteht erläutert.

Die Ableitung erfolgt nach der Produktregel wie im ersten Beispiel nur das der erste Faktor hier die e-Funktion und der zweite die Sinusfunktion ist.

Produktregel Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird die Produktregel anhand einer Funktion die aus dem Produkt dreier Funktionen besteht erläutert.

Liegt ein Produkt aus mehr als zwei Funktionen vor, dann kann die Produktregel sukzessive verwendet werden, indem Funktionen beliebig zusammengefasst werden und die Produktregel mehrfach nacheinder angewendet wird.

Durch die jeweilige Klammerung erhält man wieder ein Produkt aus zwei Faktoren auf das man die Produktregel anwenden kann. Hier im Beispiel rechnen wir mit der ersten Variante weiter.

Quotientenregel

d d x f ( x ) = d d x u ( x ) v ( x ) = v ( x ) d d x u ( x ) u ( x ) d d x v ( x ) v 2 ( x ) = u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) v 2

Die Quotientenregel gibt an wie der Quotient zweier Funktionen beim Differenzieren zu behandeln ist.

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Beispiel für die Anwendung der Quotientenregel (öffnen durch Anwahl)

Als Beispiel zur Anwendung der Quotientenregel dient der Quotient aus der Sinus- und der Cosinusfunktion. Die Anwendung ist ähnlich der Produktregel. Die Rolle der Faktoren übernehmen hier jeweils Zähler und Nenner des Bruchs.

Kettenregel

d d x f ( g ( x ) ) = d d x g ( x ) d d g f ( g ) = g ( x ) f ( g )

Die Kettenregel gibt an wie geschachtelte Funktionen beim differenzieren zu behandeln sind. Man unterscheidet dabei die innere Funktion und die äußere Funktion. Damit läßt sich die Kettenregel wie folgendermaßen formulieren: die Ableitung ist Ableitung der inneren Funktion mal der Ableitung der äußeren Funktion. Wobei bei der Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion insgesamt als Veränderliche betrachtet wird. D.h. es wird nicht nach x sondern nach der inneren Funktion g differenziert.

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Beispiele für die Anwendung der Kettenregel (öffnen durch Anwahl)

Im folgenden einige Beispiele für die Anwendung der Kettenregel. Im ersten Beispiel ist die Sinusfunktion im Exponenten der e-Funktion. Die Sinusfunktion ist also die innere Funktion g. Das zweite Beispiel zeigt wie man eine Potenzfunktion differenzieren kann. Im dritten Beispiel ist eine quadratische Funktion innerhalb einer trigonometrischen Funktion.

Gemischte Anwendung der Regeln

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Beispiele für die gemischte Anwendung der Ableitungsregeln (öffnen durch Anwahl)

Im folgenden einige Beispiele für die gemischte Anwendung der Ableitungsregeln. Im ersten Beispiel werden Produkt- und Quotientenregel verwendet. Das zweite Beispiel zeigt wie Produkt- und Kettenregel verwendet werden können. Im dritten Beispiel werden Summen-, Faktor- und Kettenregel verwendet.

Ableitung von Vektoren

Vektoren werden differenziert indem jede Komponente des Vektors differenziert wird.

d d t f ( t ) = ( d d t f 1 ( t ) d d t f 2 ( t ) d d t f n ( t ) )

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Beispiel für das Differenzieren einer Vektorfunktion

Im folgenden Beispiel wird die Ableitung einer Vektorfunktion anhand der Parameterdarstellung einer 3-dimensionalen Kurve angegeben.

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Regeln für das Differenzieren von Vektorfunktionen

Im folgenden sind einige Regeln für das Differenzieren von Vektorfunktionen angegeben. Darunter auch das Ableiten von Kreuz- und Skalarprodukt von Vektorfunktionen. f bezeichnet dabei eine skalare Funktion. Beim Kreuzprodukt dürfen die Faktoren nicht vertauscht werden.

Partielle Ableitungen

Bei Funktionen mit mehreren Variablen wird die Ableitung nach einer der Variablen als partielle Ableitung bezeichnet.

Für eine Funktion von x und weiteren Variablen wird die partielle Ableitung nach x wie im folgenden geschrieben.

x f ( x , y , . . . )

Bei partiellen Ableitungen werden weitere Variablen als Konstanten behandelt.

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Beispiel für partielle Ableitungen

Im folgenden Beispiel wird die Ableitung einer Funktion von x, y und z jeweils partiell nach den Variablen abgeleitet.

Gradient

Als Gradient wird ein Vektor bezeichnet, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen einer Funktion f sind. Für den Gradienten sind zwei Bezeichnungen üblich. Eine ist grad(f) und die andere verwendet den Differentialoperator nabla ∇.

g r a d ( f ) = f = ( f x 1 f x 2 f x n )

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Gradienten Rechenregeln

Für den Gradienten gelten die folgenden Rechenregeln.

Implizite Ableitung

Eine Funktion F(x, f(x)) = 0 kann, wenn die entsprechenden partiellen Ableitungen existieren, auch differenziert werden ohne die Funktion explizit aufzulösen.

Setzt man zur übersichtlicheren Schreibweise y = f(x) und damit F(x, y) = 0 dann kann die Ableitung folgendermaßen mittels partieller Ableitungen berechnet werden.

F ( x , f ( x ) ) = F ( x , y ) = 0

f ( x ) = d y d x = x F ( x , y ) y F ( x , y )

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Beispiel für implizite Ableitung

Beispiel für die Ableitung einer impliziten Funktion.

Weitere Rechner

Hier eine Liste weiterer Rechner:

Index Ableitungs­rechner Rechner grad ∇ e-Funktion ableiten Wurzel ableiten Brüche ableiten Lineare Dgl 1.Ordnung