icon-Ableitung Ableitungsregeln und Ableitungsrechner

Schreibweisen

d d x fx = fx

Elementare Ableitungen

d d x Const. = 0

d d x x = 1

d d x xn = nxn-1

Ableitungsregeln kurz gefasst

Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim differenzieren erhalten

af = af

Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden

f1 + f2 = f1 + f2

Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten

uv = uv + uv

Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Quotienten

u v = uv-uv v2

Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

fgx = fggx

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

d d x sin(x) = cos(x)

d d x cos(x) = -sin(x)

d d x sin(kx) = kcos(kx)

d d x cos(kx) = -ksin(kx)

d d x tan(x) = d d x sin(x) cos(x) = 1 cos2(x)

Ableitungen von Exponential- und Logarithmus­funktionen

Schreibweisen: ex = expx

d d x ex = ex

d d x ln(x) = 1x

d d x loga(x) = 1xloga(e)

d d x efx=fxefx

d d x ex = ex = ex

d d x eax = eax = aeax

d d x eax2 = eax2 = 2axeax2

d d x 1ex = 1ex = e-x = -e-x = -1ex

d d x elnx = elnx = x = 1

d d x exn = exn = nxn-1exn

d d x exn = exn = enx = nenx

Ableitungsrechner

Eingabefeld für die abzuleitende Funktion f(x) =

cl

Ableitung ddxfx

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln(x)

xa

^

asin

acos

atan

x2

x

x3

x4

()()

sinh

cosh

ax+cbx+c

a+xb+x

x2-a2x2+a2

1a+bx

1+x1-x

x+a

eax

ex

ae-bx2+c

sinxcosx

ax2+bx+c

exsinxcosx

1ax

aebx+c

eax

eax2

1eax

xex

1sin

1cos

1tan

asinbx+c

acosbx+c

atanbx+c

asin2bx+c

Kopierfeld: Von hier aus kann die erste Ableitung in das Funktionsfeld für f kopiert werden um weitere Ableitungen zu bilden.

Ableitungsregeln

Im folgenden werden die wichtigsten Ableitungsregeln beschrieben und an Beispielen erläutert.

  • Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim differenzieren erhalten
  • Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden
  • Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten
  • Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Quotienten
  • Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

Faktor- und Summenregel

d d x f ( x ) = d d x ( a 1 f 1 ( x ) + a 2 f 2 ( x ) ) = d d x a 1 f 1 ( x ) + d d x a 2 f 2 ( x ) = a 1 d d x f 1 ( x ) + a 2 d d x f 2 ( x )

Die Summenregel besagt, dass die Summanden einzeln differenziert werden können.

d d x f1x + f2x = d d x f1x + d d x f2x

Ableitung der Summanden

Die Faktorregel besagt, dass die konstanten Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben.

d d x a fx = a d d x fx

Der konstante Faktor a bleibt beim Ableiten erhalten

Beispiel für Faktor- und Summenregel

fx = 2x2+ 2 3 x3

In der Beispielfunktion sind Summe und konstante Faktoren enthalten. Zum differenzieren werden beide Regeln angewendet.

d d x 2x2 + 2 3 x3 = d d x 2x2 + d d x 2 3 x3

Anwendung der Summenregel.

d d x 2x2 + d d x 2 3 x3 = 2 d d x x2 + 2 3 d d x x3

Anwendung der der Faktorregel in jedem Summanden.

2 d d x x2 + 2 3 d d x x3 =4x+2x2

Ableiten der Terme ergibt die Ableitung der Beispielfunktion f.

Produktregel

d d x f ( x ) = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x u ( x ) + u ( x ) d d x v ( x ) = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x )

Die Produktregel gibt an wie das Produkt zweier Funktionen beim differenzieren zu behandeln ist. In Worten lässt sich die Produktregel so ausdrücken: Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion plus der ersten Funktion mal Ableitung der zweiten Funktion.

Beispiele für die Anwendung der Produktregel

Produktregel-Beispiel-2

Liegt ein Produkt aus mehr als zwei Funktionen vor, dann kann die Produktregel sukzessive verwendet werden, indem Funktionen beliebig zusammengefasst werden und die Produktregel mehrfach nacheinder angewendet wird.

Produktregel-Beispiel-3

Quotientenregel

d d x f ( x ) = d d x u ( x ) v ( x ) = v ( x ) d d x u ( x ) u ( x ) d d x v ( x ) v 2 ( x ) = u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) v 2

Die Quotientenregel gibt an wie der Quotient zweier Funktionen beim Differenzieren zu behandeln ist.

Beispiel für die Anwendung der Quotientenregel

Quotientenregel-Beispiel

Kettenregel

d d x f ( g ( x ) ) = d d x g ( x ) d d g f ( g ) = g ( x ) f ( g )

Die Kettenregel gibt an wie geschachtelte Funktionen beim differenzieren zu behandeln sind. Man unterscheidet dabei die innere Funktion und die äußere Funktion. Damit läßt sich die Kettenregel wie folgendermaßen formulieren: die Ableitung ist Ableitung der inneren Funktion mal der Ableitung der äußeren Funktion. Wobei bei der Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion insgesamt als Veränderliche betrachtet wird. D.h. es wird nicht nach x sondern nach der inneren Funktion g differenziert.

Beispiele für die Anwendung der Kettenregel

Kettenregel-Beispiel

Beispiele für die Anwendung der Ableitungsregeln

Die folgenden Beispiele zeigen die gemischte Anwendung der Ableitungsregeln.

Ableitungsregel-4

In diesem Beispiel werden Produkt- und Quotientenregel verwendet.

Ableitungsregel-4

In diesem Beispiel werden Produkt- und Kettenregel verwendet.

Ableitungsregel-4

In diesem Beispiel werden Summen-, Faktor- und Kettenregel verwendet.