icon-Ableitung Ableitungsregeln und Ableitungsrechner

Schreibweisen

d d x fx = fx

Elementare Ableitungen

d d x Const. = 0

d d x x = 1

d d x xn = nxn-1

Ableitungsregeln kurz gefasst

Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim differenzieren erhalten

af = af

Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden

f1 + f2 = f1 + f2

Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten

uv = uv + uv

Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Quotienten

u v = uv-uv v2

Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der inneren und der äußeren Ableitung

fgx = fggx

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Ableitungen trigonometrischer Funktionen

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Ableitungen von Exponential- und Logarithmus­funktionen

Ableitungsrechner

Eingabefeld für die abzuleitende Funktion:

clear

Ableitung ddxfx

weitere Ableitung dndxnfx

Plot

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln(x)

xa

^

asin

acos

atan

x2

x

x3

x4

()()

sinh

cosh

ax+cbx+c

a+xb+x

x2-a2x2+a2

1a+bx

1+x1-x

x+a

eax

ex

ae-bx2+c

sinxcosx

ax2+bx+c

exsinxcosx

1ax

aebx+c

eax

eax2

1eax

xex

1sin

1cos

1tan

asinbx+c

acosbx+c

atanbx+c

asin2bx+c

Ableitungsregeln

Im folgenden werden die wichtigsten Ableitungsregeln beschrieben und an Beispielen erläutert.

  • Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim differenzieren erhalten
  • Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden
  • Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten
  • Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Quotienten
  • Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

Faktor- und Summenregel

d d x f ( x ) = d d x ( a 1 f 1 ( x ) + a 2 f 2 ( x ) ) = d d x a 1 f 1 ( x ) + d d x a 2 f 2 ( x ) = a 1 d d x f 1 ( x ) + a 2 d d x f 2 ( x )

Die Summenregel besagt, dass die Summanden einzeln differenziert werden können.

Ableitung der Summanden

d d x f1x + f2x = d d x f1x + d d x f2x

Die Faktorregel besagt, dass die konstanten Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben.

Der konstante Faktor a bleibt beim Ableiten erhalten

d d x a fx = a d d x fx

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Beispiel für die Anwendung der Faktor- und Summenregel (öffnen durch Anwahl)

In der Beispielfunktion sind Summe und konstante Faktoren enthalten. Zum Differenzieren werden beide Regeln angewendet.

Im ersten Schritt wird die Summenregel angewendet. Im zweiten Schritt die Faktorregel auf jeden Summanden und schließlich ergibt das Ableiten der einzelnen Terme die Ableitung der Funktion.

Produktregel

d d x f ( x ) = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x u ( x ) + u ( x ) d d x v ( x ) = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x )

Die Produktregel gibt an wie das Produkt zweier Funktionen beim Differenzieren zu behandeln ist. In Worten lässt sich die Produktregel so ausdrücken: Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion plus der ersten Funktion mal Ableitung der zweiten Funktion.

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Beispiele für die Anwendung der Produktregel (öffnen durch Anwahl)

Im folgenden einige Beispiele für die Anwendung der Produktregel.

Produktregel Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird die Produktregel anhand einer Funktion die aus dem Produkt der Sinus- und der Cosinusfunktion besteht erläutert. Die Ableitung erfolgt nach der Produktregel so, dass die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor multipliziert wird und mit der Ableitung des zweiten Faktors multipliziert mit dem ersten Faktor addiert wird.

Produktregel Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird die Produktregel anhand einer Funktion die aus dem Produkt der Exponential- und der Sinusfunktion besteht erläutert.

Die Ableitung erfolgt nach der Produktregel wie im ersten Beispiel nur das der erste Faktor hier die e-Funktion und der zweite die Sinusfunktion ist.

Produktregel Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird die Produktregel anhand einer Funktion die aus dem Produkt dreier Funktionen besteht erläutert.

Liegt ein Produkt aus mehr als zwei Funktionen vor, dann kann die Produktregel sukzessive verwendet werden, indem Funktionen beliebig zusammengefasst werden und die Produktregel mehrfach nacheinder angewendet wird.

Durch die jeweilige Klammerung erhält man wieder ein Produkt aus zwei Faktoren auf das man die Produktregel anwenden kann. Hier im Beispiel rechnen wir mit der ersten Variante weiter.

Quotientenregel

d d x f ( x ) = d d x u ( x ) v ( x ) = v ( x ) d d x u ( x ) u ( x ) d d x v ( x ) v 2 ( x ) = u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) v 2

Die Quotientenregel gibt an wie der Quotient zweier Funktionen beim Differenzieren zu behandeln ist.

Beispiel für die Anwendung der Quotientenregel (öffnen durch Anwahl)

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Als Beispiel zur Anwendung der Quotientenregel dient der Quotient aus der Sinus- und der Cosinusfunktion. Die Anwendung ist ähnlich der Produktregel. Die Rolle der Faktoren übernehmen hier jeweils Zähler und Nenner des Bruchs.

Kettenregel

d d x f ( g ( x ) ) = d d x g ( x ) d d g f ( g ) = g ( x ) f ( g )

Die Kettenregel gibt an wie geschachtelte Funktionen beim differenzieren zu behandeln sind. Man unterscheidet dabei die innere Funktion und die äußere Funktion. Damit läßt sich die Kettenregel wie folgendermaßen formulieren: die Ableitung ist Ableitung der inneren Funktion mal der Ableitung der äußeren Funktion. Wobei bei der Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion insgesamt als Veränderliche betrachtet wird. D.h. es wird nicht nach x sondern nach der inneren Funktion g differenziert.

Beispiele für die Anwendung der Kettenregel (öffnen durch Anwahl)

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Im folgenden einige Beispiele für die Anwendung der Kettenregel. Im ersten Beispiel ist die Sinusfunktion im Exponenten der e-Funktion. Die Sinusfunktion ist also die innere Funktion g. Das zweite Beispiel zeigt wie man eine Potenzfunktion differenzieren kann. Im dritten Beispiel ist eine quadratische Funktion innerhalb einer trigonometrischen Funktion.

Beispiele für die gemischte Anwendung der Ableitungsregeln (öffnen durch Anwahl)

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Im folgenden einige Beispiele für die gemischte Anwendung der Ableitungsregeln. Im ersten Beispiel werden Produkt- und Quotientenregel verwendet. Das zweite Beispiel zeigt wie Produkt- und Kettenregel verwendet werden können. Im dritten Beispiel werden Summen-, Faktor- und Kettenregel verwendet.