icon-Dgl Mathe Tutorial: Lineare Differentialgleichung (Dgl) erster Ordnung

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Differential­gleichungen

Differential­gleichungen sind Gleichungen zwischen gesuchten Funktionen und ihren Variablen sowie den Ableitungen der gesuchten Funktionen.

Gewöhnliche Differential­gleichungen

Gewöhnliche Differential­gleichungen sind Gleichungen zwischen gesuchten Funktionen einer Variablen und den Ableitungen der gesuchten Funktionen.

Partielle Differential­gleichungen

Eine partielle Differential­gleichungen liegt vor, wenn die gesuchte Funktion von mehr als einer Variablen abhängt.

Ordnung der Dgl

Die Ordnung der Differentialgleichungen bezeichnet die höchste Ableitung der Funktion die in der Gleichung auftritt. Eine Dgl 1. Ordnung enthält also die Funktion und höchstens die erste Ableitung der Funktion.

Schreibweisen für Ableitungen

d y d x = d d x yx = yx = y

Richtungsfeld der Dgl

Die explizite Dgl definiert für jeden Punkt der x/y-Ebene die Steigung der Lösung der Dgl die durch diesen Punkt geht. Trägt man auf einem Gitter der x/y-Ebene Tangenten für die Steigung in dem Gitterpunkt auf erhält man das Richtungsfeld. Aus dem Richtungsfeld kann man den Funktionsverlauf für unterschiedliche Anfangswerte der Lösung abschätzen. Die Gleichung für das Richtungsfeld erhält man durch Umformen der Dgl.

y=fxy

Anfangswerte

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine Schaar von Funktionen parametrisiert durch die Konstante C. Die Festlegung auf eine spezielle Lösung erfolgt durch die Angabe von Anfangswerten. Damit ist die Angabe eines Funktionswertes y0 an der Stelle x0 gemeint. Damit kann aus der allgemeinen Lösung die Konstante C bestimmt werden.

y0=ba+Ce-ax0

Die Konstante C ist bestimmt durch:

C=y0-baeax0

Differentialgleichung erster Ordnung

Homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Eine der einfachsten Differentialgleichungen ist die lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

y+ay=b

mita,bR

Für b = 0 liegt die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten vor.

y+ay=0

Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y=-ay

Umformung der Gleichung

yy=-a

Division durch y

lny=-a

Anwendung der Kettenregel

lny=-adx=-ax+C~

Integration

yh=Ce-ax

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit der unbestimmten Konstanten C

Variation der Konstanten

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen kann aus der homogenen gewonnen werden. Allgemein ist die Lösung der inhomogenen Gleichung gegeben durch die Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Die spezielle Lösung kann ermittelt werden mit dem Verfahren der Variation der Konstanten. Dabei wird die Konstante C der homogenen Lösung angenommen als Funktion von x und die homogene Lösung in die inhomogene Gleichung eingesetzt. C(x) wird dann so bestimmt, dass die Gleichung erfüllt ist.

yh=Ce-ax-aCe-ax

Ableitung der homogenen Lösung mit C als Funktion von x

Ce-ax-aCe-ax-aCe+ax=b

Einsetzen in die inhomogene Gleichung

C=beax

Durch Umformung erhält man eine Gleichung zur Bestimmung von C

C=baeax

Integration liefert C(x)

ys=ba

Einsetzen von C(x) in yh liefert eine spezielle Lösung ys

y=ys+yh=ba+Ce-ax

Das ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Rechner für die lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Zoom

y=ba+Ce-ax

Schrittweite Richtungsfeld
step=
Wertebereich der Achsen
x-min= x-max=
y-min= y-max=
Wertebereich der Parameter
a-min= a-max=
b-min= b-max=
Aktueller Wert der Parameter
a= b=
Aktueller Wert der Anfangswerte
x0= y0=

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Die allgemeine lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist folgendermaßen gegeben.

y+fxy=gx

Die allgemeine Lösung erhält man durch folgende Formel.

yx=1efxdxgxefxdxdx+C

Rechner für die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Zoom

y+fxy=gx

y' + * y =
Schrittweite Richtungsfeld
step=
Wertebereich der Achsen
x-min= x-max=
y-min= y-max=
Aktueller Wert der Anfangswerte
x0= y0=