Lineare Differentialgleichung (Dgl) erster Ordnung

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Eine der einfachsten Differentialgleichungen ist die lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

$y' + a y = b$

$mit a, b \in R$

Für b = 0 liegt die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten vor.

$y' + a y = 0$

Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$y' = - a y$

Umformung der Gleichung

$\frac{y'}{y} = - a$

Division durch y

$(\ln y)' = - a$

Anwendung der Kettenregel

$\ln y = - a \int dx = - a x + \tilde{C}$

Integration

$y_{h} = C e^{- a x}$

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit der unbestimmten Konstanten C

Variation der Konstanten:

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen kann aus der homogenen gewonnen werden. Allgemein ist die Lösung der inhomogenen Gleichung gegeben durch die Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Die spezielle Lösung kann ermittelt werden mit dem Verfahren der Variation der Konstanten. Dabei wird die Konstante C der homogenen Lösung angenommen als Funktion von x und die homogene Lösung in die inhomogene Gleichung eingesetzt. C(x) wird dann so bestimmt, dass die Gleichung erfüllt ist.

$y_{h}^{'} = C' e^{- a x} - a C e^{- a x}$

Ableitung der homogenen Lösung mit C als Funktion von x

$C' e^{- a x} - a C e^{- a x}$ $- a C e^{+ a x}$ $= b$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung

$C' = b e^{a x}$

Durch Umformung erhält man eine Gleichung zur Bestimmung von C

$C = \frac{b}{a} e^{a x}$

Integration liefert C(x)

$y_{s} = \frac{b}{a}$

Einsetzen von C(x) in y_h liefert eine spezielle Lösung y_s

$y = y_{s} + y_{h} = \frac{b}{a} + C e^{- a x}$

Das ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Beispiel: Lösung der Dgl y'+ay=ce^bx

$y^{'} (x) + a y (x) = c e^{b x}$

Zuerst wird die homogene Differentialgleichung gelöst.

$y' + a y = 0$

Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

$y' = - a y$

Umformung der Gleichung

$\frac{y'}{y} = - a$

Division durch y

$(\ln y)' = - a$

Anwendung der Kettenregel

$\ln y = - a \int dx = - a x + \tilde{k}$

Integration

$y_{h} = k e^{- a x}$

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit der unbestimmten Konstanten k

Variation der Konstanten:

$y_{h}^{'} = k' e^{- a x} - a k e^{- a x}$

Ableitung der homogenen Lösung mit C als Funktion von x

$k' e^{- a x} - a k e^{- a x}$ $+ a k e^{- a x}$ $= c e^{b x}$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung

$k' = c e^{(a + b) x}$

Durch Umformung erhält man eine Gleichung zur Bestimmung von k

$k = \frac{c}{a + b} e^{(a + b) x}$

Integration liefert k(x)

$y_{s} = \frac{c}{a + b} e^{b x}$

Einsetzen von k(x) in y_h liefert eine spezielle Lösung y_s

$y = y_{s} + y_{h} = \frac{c}{a + b} e^{b x} + k e^{- a x}$

Das ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Die allgemeine lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist folgendermaßen gegeben.

$y' + f (x) y = g (x)$

Die allgemeine Lösung erhält man durch folgende Formel.

$y (x) = \frac{1}{e^{\int f (x) dx}} (\int g (x) e^{\int f (x) dx} dx + C)$

Allgemeine Bezeichnungen bei Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind Gleichungen zwischen gesuchten Funktionen und ihren Variablen sowie den Ableitungen der gesuchten Funktionen.

Gewöhnliche Differentialgleichungen: Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen zwischen gesuchten Funktionen einer Variablen und den Ableitungen der gesuchten Funktionen.

Partielle Differentialgleichungen: Eine partielle Differentialgleichungen liegt vor, wenn die gesuchte Funktion von mehr als einer Variablen abhängt.

Differentialgleichungen: Differentialgleichungen sind Gleichungen zwischen gesuchten Funktionen und ihren Variablen sowie den Ableitungen der gesuchten Funktionen.

Ordnung der Dgl: Die Ordnung der Differentialgleichungen bezeichnet die höchste Ableitung der Funktion die in der Gleichung auftritt. Eine Dgl 1. Ordnung enthält also die Funktion und höchstens die erste Ableitung der Funktion.

Schreibweisen für Ableitungen:

$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} y (x) = y' (x) = y'$

Richtungsfeld der Dgl:

Die explizite Dgl definiert für jeden Punkt der x/y-Ebene die Steigung der Lösung der Dgl die durch diesen Punkt geht. Trägt man auf einem Gitter der x/y-Ebene Tangenten für die Steigung in dem Gitterpunkt auf erhält man das Richtungsfeld. Aus dem Richtungsfeld kann man den Funktionsverlauf für unterschiedliche Anfangswerte der Lösung abschätzen. Die Gleichung für das Richtungsfeld erhält man durch Umformen der Dgl.

$y' = f (x y)$

Anfangswerte:

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine Schaar von Funktionen parametrisiert durch die Konstante C. Die Festlegung auf eine spezielle Lösung erfolgt durch die Angabe von Anfangswerten. Damit ist die Angabe eines Funktionswertes y₀ an der Stelle x₀ gemeint. Damit kann aus der allgemeinen Lösung die Konstante C bestimmt werden.

$y_{0} = \frac{b}{a} + C e^{- a x_{0}}$

Die Konstante C ist bestimmt durch:

$C = (y_{0} - \frac{b}{a}) e^{a x_{0}}$

Weitere Seiten zum Thema

Hier einige weitere Seiten:

Index Rechner Lineare Dgl 1.Ordnung Rechner Allgemeine Dgl 1.Ordnung Rechner Lineare Dgl 2.Ordnung Rechner Allgemeine Dgl 2.Ordnung Rechner Dgl-System 2x2 Rechner Dgl System 3x3 y'+ay=b y'+ay=ce^bx y'+2xy=xe^(-x^2) y'+xy=x y'+y=x y'=y^2 y'+y^2=1 y'=(Ay-a)(By-b) Exponentielles Wachstum Logistisches Wachstum