Ułamki

Złamania

Ułamek jest ilorazem dwóch liczb, tj. zadaniem dzielenia m : n, które zazwyczaj zapisuje się za pomocą kreski ułamkowej. Wartość na linii ułamka nazywana jest licznikiem, a wartość poniżej linii ułamka nazywana jest mianownikiem.

Ułamek zwykły z liczbami m i n $m : n = \frac{m}{n}$ gdzie m to licznik, a n to mianownik ułamka.

Przykłady ułamków

$7 : 8 = \frac{7}{8}$

Ułamek z licznikiem 7 i mianownikiem 8

$\frac{a x^{2} + b y}{a x}$

Bardziej ogólny przykład z sumą w liczniku ułamka

Liczby wymierne

Zbiór wszystkich ułamków liczb naturalnych tworzy zbiór liczb wymiernych. Liczby naturalne są podzbiorem liczb wymiernych. Liczby naturalne są zawarte w liczbach wymiernych jako tak zwane ułamki niewłaściwe ( m:1 ).

Największy wspólny dzielnik (NWD)

NWD to największa liczba naturalna, przez którą można podzielić dwie liczby całkowite bez reszty.

Kalkulator NWD

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych m i n to najmniejsza liczba naturalna, która jest zarówno wielokrotnością liczby m, jak i wielokrotnością liczby n. Najmniejszy możliwy wspólny mianownik (tzw. wspólny mianownik) dwóch ułamków to NWW.

Kalkulator NWW

Specjalne przerwy

Ułamek z licznikiem zero ma wartość zero.

$\frac{0}{a} = 0$

Ułamek o mianowniku równym jeden ma wartość licznika.

$\frac{a}{1} = a$

Jeśli licznik i mianownik ułamka są równe, ułamek ma wartość jeden.

$\frac{a}{a} = 1$

Dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane.

$\frac{a}{0} = nieokreślony$

Znak ułamków

Ułamki, które mają ten sam znak w liczniku i mianowniku, są dodatnie.

$\frac{+ a}{+ b} = \frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

Iloraz dwóch liczb o nierównych znakach jest ujemny. Wynika z tego, że znaki licznika i mianownika można odwrócić.

$\frac{+ a}{- b} = \frac{- a}{+ b} = - \frac{a}{b}$

Znak przed ułamkiem może być umieszczony zarówno w liczniku, jak i mianowniku.

$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$

Zasady obliczania ułamków

Skracanie ułamków

Redukcja to proces zmniejszania ułamka o czynnik występujący zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Podczas skracania usuwany jest wspólny czynnik licznika i mianownika ułamka, dzięki czemu wartość ułamka nie ulega zmianie. W przypadku skracania o największy wspólny dzielnik licznika i mianownika, wynikiem jest ułamek, który nie może być dalej skracany.

Ogólne skrócenie ułamka: $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$

Jeśli w liczniku i/lub mianowniku występują sumy, wspólny czynnik musi być obecny we wszystkich sumach i musi być zredukowany w każdej sumie: $\frac{a \cdot c + b \cdot c}{x \cdot c + y \cdot c} = \frac{c (a + b)}{c (x + y)} = \frac{c}{c} \cdot \frac{a + b}{x + y} = \frac{a + b}{x + y}$

Przykłady skracania ułamków

$\frac{12}{16} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$

W ułamkach 12 i 16 wspólnym czynnikiem jest 4, który można zredukować przez. 4 jest największym wspólnym dzielnikiem ułamków 12 i 16. 4 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 16. Jeśli rozłożymy ułamek na iloczyn, otrzymamy ułamek 4/4 jako czynnik, a wartość tego ułamka wyniesie 1.

$\frac{a x^{2} + a x y}{a x} = \frac{a x (x + y)}{a x}$ $= \frac{a x}{a x} \cdot \frac{x + y}{1} = x + y$

Suma w liczniku zawiera wspólny czynnik a⋅x i może zostać obcięta.

Rozszerzanie ułamka jest przeciwieństwem jego skracania. Oznacza to, że mnożysz licznik i mianownik przez ten sam czynnik, a tym samym nie zmieniasz wartości ułamka, ponieważ ułamek jest w sumie mnożony przez 1.

Dodatek

Dodawanie ułamków polega na dodawaniu ułamków tak, aby miały wspólny mianownik.

Ogólne dodawanie dwóch ułamków: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Przykład dodawania ułamków

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$

Rozszerz ułamki do głównego mianownika (NWW) 6 i połącz je. Każdy mianownik musi być pomnożony przez współczynnik do głównego mianownika. Aby nie zmienić wartości ułamka, czynnik jest również mnożony w liczniku. Mnożenie czynnika w liczniku i mianowniku nazywane jest rozszerzaniem ułamka.

Kalkulator do dodawania ułamków

Odejmowanie

Odejmowanie ułamków odbywa się w taki sam sposób jak dodawanie.

Ogólne odejmowanie dwóch ułamków: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Przykład odejmowania ułamków

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = - \frac{1}{6}$

Rozszerz ułamki do głównego mianownika 6 w taki sam sposób jak dodawanie i połącz je, biorąc pod uwagę znak.

Przykład dodawania/odejmowania ułamków w krokach częściowych

$\frac{4}{9} + \frac{2}{-15}$

Wszystkie kroki zostały wyjaśnione w tym przykładzie.

$= \frac{4}{9} - \frac{2}{15}$

Krok 1: Znaki ujemne w liczniku lub mianowniku są umieszczane przed ułamkiem. Minus w mianowniku drugiego ułamka jest mnożony przez plus przed ułamkiem, a + razy - daje -.

$= \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 3}{45}$

Krok 2: Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników.

Wielokrotności 9 to 9; 18; 27; 36; 45

Wielokrotności 15 to 15; 30; 45

NWW wynosi zatem 45, co oznacza, że oba ułamki należy rozwinąć tak, aby mianownik wynosił 45. W tym celu pierwszy ułamek należy rozwinąć przez 45/9, czyli 5, a drugi ułamek przez 45/15, czyli 3.

$= \frac{4 \cdot 5 - 2 \cdot 3}{45}$

Krok 3: Ułamki są teraz sprowadzone do wspólnych mianowników i mogą być zapisane na wspólnej linii ułamkowej.

$= \frac{14}{45}$

Krok 4: Obliczenie licznika daje wynik. Pozostaje sprawdzić, czy ułamek ma wspólny dzielnik, przez który można go zredukować.

Dzielnikami liczby 14 są 1; 2; 7; 14

Dzielnikami 45 są 1; 3; 5; 9; 15; 45

Największy wspólny dzielnik wynosi zatem 1, co oznacza, że ułamek nie może być dalej redukowany. W przeciwnym razie licznik i mianownik zostałyby podzielone przez NWD.

Mnożenie

Mnożenie ułamków odbywa się poprzez pomnożenie odpowiednio liczników i mianowników.

Ogólne mnożenie dwóch ułamków: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Przykład mnożenia ułamków

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Mnożenie licznika i mianownika, a następnie redukcja ułamka

Kalkulator do mnożenia ułamków

Podział

Dzielenie ułamków odbywa się poprzez pomnożenie pierwszego ułamka przez odwrotność drugiego.

Ogólne dzielenie dwóch ułamków: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$