Lineare Gleichungen

Skalare lineare Gleichung mit einer Unbekannten

Die Grundform der skalaren linearen Gleichung mit den konstanten Koeffizienten a und b und der Variablen x lautet:

$a \cdot x = b$

Die Lösung der Gleichung erfolgt durch Division der Gleichung durch den Koeffizienten a.

$x = \frac{b}{a}$

Beispiele

Beispiel: Lineare Gleichung in Normalform

$2 \cdot x = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Die Lösung der Gleichung erfolgt durch Division der Gleichung durch 2.

Beispiel: Umformung zur Normalform

$4 \cdot x - 4 = 2 \cdot x - 5$

$2 \cdot x - 4 = - 5$

$2 \cdot x = - 1$

$x = - \frac{1}{2}$

1. Umformung: Subtraktion 2x

2. Umformung: Addition +4. Damit ist die Normalform erreicht.

3. Umformung: Division durch 2 ergibt die Lösung.

Beispiel: Umformung aus einem Bruch

$5 + \frac{1}{2 \cdot x} = 2$

$10 \cdot x + 1 = 4 \cdot x$

$6 \cdot x + 1 = 0$

$6 \cdot x = - 1$

$x = - \frac{1}{6}$

1. Umformung: Multiplikation mit 2x

2. Umformung: Subtraktion 4x.

3. Umformung: Subtraktion von 1 führt auf die Normalform.

4. Umformung: Division durch 6 ergibt die Lösung.

Beispiel: Die Unbekannte in Brüchen

$\frac{2}{x} + \frac{1}{2 \cdot x} = 2$

$\frac{4}{2 \cdot x} + \frac{1}{2 \cdot x} = 2$

$\frac{4 + 1}{2 \cdot x} = 2$

$5 = 4 \cdot x$

$x = \frac{5}{4}$

1. Umformung: Erweiterung des ersten Bruchs zum gemeinsamen Nenner 2x

2. Umformung: Brüche auf Hauptnenner.

3. Umformung: Multiplikation mit 2x führt auf die Normalform.

4. Umformung: Division durch 4 ergibt die Lösung.

Rechner: Lineare Gleichung mit einer Variablen

$a \cdot x = b$

Skalare lineare Gleichung mit zwei Unbekannten

Die Grundform der skalaren linearen Gleichung mit den konstanten Koeffizienten a, b und c und den Variablen x und y lautet:

$a \cdot x + b \cdot y = c$

Für a und b ungleich 0 hat die Gleichung einen eindimensionalen Lösungsraum. Auflösen der Gleichung nach y ergibt eine Geradengleichung.

$y = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} \cdot x$

Substituiert man mit m = -a/b und n = c/b erhält man die Geradengleichung mit der Steigung m und dem Achsabschnitt n.

$y = n + m \cdot x$

Rechner: Lineare Gleichung mit zwei Variablen

$a \cdot x + b \cdot y = c$

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