icon-lineare-Gleichung Mathe Tutorial: Lineare Gleichungen

Rechner

Lineare Gleichung mit einer Variablen

a · x = b

a= b=

Lineare Gleichung mit zwei Variablen

a · x + b · y = c

a= b= c=

Lineare Gleichungen

Skalare lineare Gleichung mit einer Unbekannten

Die Grundform der skalaren linearen Gleichung mit den konstanten Koeffizienten a und b und der Variablen x lautet:

a · x = b

Die Lösung der Gleichung erfolgt durch Division der Gleichung durch den Koeffizienten a.

x = b a

Beispiele

Beispiel: Lineare Gleichung in Normalform

2 · x = 6

x = 6 2 = 3

Die Lösung der Gleichung erfolgt durch Division der Gleichung durch 2.

Beispiel: Umformung zur Normalform

4 · x - 4 = 2 · x - 5

2 · x - 4 = - 5

1. Umformung: Subtraktion 2x

2 · x = - 1

2. Umformung: Addition +4. Damit ist die Normalform erreicht.

x = - 1 2

3. Umformung: Division durch 2 ergibt die Lösung.

Beispiel: Umformung aus einem Bruch

5 + 1 2 · x = 2

10 · x + 1 = 4 · x

1. Umformung: Multiplikation mit 2x

6 · x + 1 = 0

2. Umformung: Subtraktion 4x.

6 · x = - 1

3. Umformung: Subtraktion von 1 führt auf die Normalform.

x = - 1 6

4. Umformung: Division durch 6 ergibt die Lösung.

Beispiel: Die Unbekannte in Brüchen

2 x + 1 2 · x = 2

4 2 · x + 1 2 · x = 2

1. Umformung: Erweiterung des ersten Bruchs zum gemeinsamen Nenner 2x

4 + 1 2 · x = 2

2. Umformung: Brüche auf Hauptnenner.

5 = 4 · x

3. Umformung: Multiplikation mit 2x führt auf die Normalform.

x = 5 4

4. Umformung: Division durch 4 ergibt die Lösung.

Skalare lineare Gleichung mit zwei Unbekannten

Die Grundform der skalaren linearen Gleichung mit den konstanten Koeffizienten a, b und c und den Variablen x und y lautet:

a · x + b · y = c

Für a und b ungleich 0 hat die Gleichung einen eindimensionalen Lösungsraum. Auflösen der Gleichung nach y ergibt eine Geradengleichung.

y = c b - a b · x

Substituiert man mit m = -a/b und n = c/b erhält man die Geradengleichung mit der Steigung m und dem Achsabschnitt n.

y = n + m · x