icon-Vektor Mathe Tutorial: Vektorrechnung

Grafisch

Geschichte der Vektorrechnung

Die Vektorrechnung geht zurück auf H.G. Graßmann und parallel auf Hamilton. Graßmann veröffentlichte 1844 die "Lineale Ausdehnungslehre". Als Vorläufer gelten Descartes und Möbius. Der irische Mathematiker William Rowan Hamilton (1805 - 1865) entwickelte die Theorie der Quaternionen, die als Vorläufer der Vektoren betrachtet werden. Auch der Begriff Skalar geht auf Hamilton zurück. 1888 gab der italienische Mathematiker Giuseppe Peano (1858–1932) eine axiomatische Definition eines Vektorraums, die bis auf sprachliche Nuancen unseren Axiomen eines Vektorraums entsprach.

Skalar

Größen, die durch eine reelle Zahl angegeben werden können bezeichnet man als Skalar.In der Physik z.B. Temperatur, Masse, ...

Vektor

Größen, die zusätzlich zu ihrem Wert die Angabe einer Richtung erfordern bezeichnet man als Vektor. In der Physik z.B. Geschwindigkeit, Feldstärke, ... Allgemein ist ein Vektor nicht auf drei Dimensionen beschränkt sondern ein n-Tupel reeller Zahlen, dass häufig als Spaltenvektor notiert wird.

v= v1 v2 vn

Lineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren heißen linear Abhängig oder Kollinear, wenn der eine durch Multiplikation mit einem Skalar in den anderen überführt werden kann. Das Kreuzprodukt kollinearer Vektoren verschwindet.

Orthogonalität

Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren verschwindet. Geometrisch stehen die Vektoren dann senkrecht aufeinander d.h. der Winkel den die Vektoren einschließen beträgt 90°.

Einheitsvektor

Vektoren der Länge 1 werden als Einheitsvektoren bezeichnet. Jeder Vektor kann durch Normierung in den Einheitsvektor überführt werden, indem der Vektor durch seinen Betrag dividiert wird.

Mehrfachprodukte

Mehrfachprodukte von Vektoren sind im Allgemeinen nicht Assoziativ. D.h. im Allgemeinen gilt, dass die Reihenfolge in der die Produkte ausgeführt werden relevant ist.

Allgemein ist:

uvwuvw

und

uvwuvw


Für das doppelte Vektorprodukt gilt der Entwicklungssatz: uvw=vuw-wuv


Das Spatprodukt uvw ist gleich dem Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Das Spatprodukt ist positiv, wenn die drei Vektoren ein Rechtssystem bilden.


Lagrangesche Identität:

muvw=mvuw-uvmw

Geometrische Anwendungen

Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte P0 und P1:

r=r0+λr1-r0


Abstand der Punkte P0 und P1:

r1-r0

Rechenregeln für Vektoren

Multiplikation des Vektors mit einem Skalar

Die Multiplikation eines Vektors mit einem positiven Skalar λ ändert nur die Länge des Vektors und nicht die Richtung. Bei der Multiplikation mit einem negativen Skalar ändert sich die Richtung des Vektors in die Gegenrichtung.

λv= λv1 λv2 λvn

Für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar λ gilt das Distributivgesetz.

λv+w = λv+λw

Addition von Vektoren

Die Addition von Vektoren erfolgt in kartesischen Koordinaten komponentenweise. Die Vektoraddition ist kommutativ uns assoziativ.

v+w= v1 v2 vn + w1 w2 wn = v1+w1 v2+w2 vn+wn

Geometrisch kann der resultierende Vektor konstruiert werden, indem einer der Vektoren parallelverschoben wird in den Endpunkt des anderen Vektors. Die Verbindung von Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten Vektors ist der resultirende Vektor der Vektoraddition.

Vektor-Addition

Subtraktion von Vektoren

Die Subtraktion von Vektoren erfolgt wie die Addition indem die Komponenten subtrahiert werden.

v-w= v1 v2 vn - w1 w2 wn = v1-w1 v2-w2 vn-wn

Geometrisch ist die Konstruktion analog der Addition nur das der Vektor mit dem negativen Vorzeichen in der Richtung gespiegelt wird.Grafische Vektor­subtraktionneue_Seite

Vektor-Subtraktion

Skalarprodukt (inneres Produkt) von Vektoren

Das Skalarprodukt ist als Produkt der Komponenten und der Summe dieser Produkte definiert. Das Skalarprodukt ist nicht von der Reihenfolge abhängig (Kommutativ). Der Name Skalarprodukt kommt daher, dass das Ergebnis ein Skalar und nicht ein Vektor ist.

vw= v1 v2 vn w1 w2 wn = v1w1+ v2w2+ + vnwn = i=1nviwi

Das Skalarprodukt kann geometrisch als das Produkt der Projektion des einen Vektors in die Richtung des anderen Vektors interpretiert werden. Physikalisch bedeutet das, dass das Produkt nur mit der Kompnente des Vektors gebildet wird die in Richtung des anderen Vektors wirksam ist.
Das Skalarprodukt läßt sich auch geometrisch ausdrücken. Dabei ist φ der von den Vektoren eingeschlossene Winkel.Skalar­produkt grafisch neue_Seite

vw= |v||w|cosφ

Für das Skalarprodukt gelten das Distributivgesetz
uv+w = uv+uw

und das Kommutativgesetz
vw = wv

Vektor-Skalarprodukt

Skalarproduktrechner für Vektoren mit 3 Komponenten

vw= v1 v2 v3 w1 w2 w3

Eingabefelder für die Elemente der Vektoren.

v1= w1=

v2= w2=

v3= w3=

Betrag eines Vektors

Das Betrag eines Vektors entspricht geometrisch der Länge des Vektors.

v= | v1 v2 vn | = v12+v22++vn2 = i=1nvi2

Rechner für den Betrag eines Vektors mit 3 Komponenten

| v | = | v1 v2 v3 |

Eingabefelder für die Elemente des Vektors.

v1=

v2=

v3=

Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt) von Vektoren

Das Vektorprodukt ist im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum folgendermaßen definiert.

vw= v1 v2 v3 w1 w2 w3 = v2w3-v3w2 v1w3-v3w1 v1w2-v2w1

Das Vektorprodukt liefert als Ergebnis einen Vektor der senkrecht auf der durch die beiden Vektoren aufgespannten Fläche steht und dessen Länge dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms entspricht.
Das Vektorprodukt läßt sich auch geometrisch ausdrücken. Dabei ist φ der von den Vektoren eingeschlossene Winkel und n der Vektor senkrecht zur Fläche.

vw= |v||w|sinφn

Das Vektorprodukt ist anti-Kommutativ
vw = -wv

Vektor-Kreuzprodukt

Kreuzproduktrechner für Vektoren mit 3 Komponenten

vw= v1 v2 v3 w1 w2 w3

Eingabefelder für die Elemente der Vektoren.

v1= w1=

v2= w2=

v3= w3=

Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix

Das Produkt einer Matrix mit einem Vektor ist eine lineare Abbildung. Erklärt ist die Multiplikation wenn die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Elemente des Vektors ist. Das Ergebnis ist ein Vektor dessen Anzahl der Komponenten der Anzahl der Zeilen der Matrix entspricht. D.h. das z.B. eine Matrix mit 2 Zeilen einen Vektor immer auf einen Vektor mit zwei Komponenten abbildet.Grafisches Matrix-Vektor­produktneue_Seite

Av= a11a12a1m a21a22a2m an1an2anm v1 v2 vm = a11v1+a12v2++a1mvm a21v1+a22v2++a2mvm an1v1+an2v2++anmvm