icon-Funktion Mathe Tutorial: Elementare Funktionen

Funktionen

Elementare Funktionen sind reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen. Elementare Funktionen sind durch einen analytischen Ausdruck darstellbar. Zu den elementaren Funktionen gehören die rationalen Funktionen, die trigonometrischen Funktionen, die Exponential- und Logarithmus­funktionen sowie deren Umkehr­funktionen.

Allgemein ist eine Funktion eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen zuordnet.

Definition

Eine Funktion f ordnet jedem Element einer Definitions­menge D genau ein Element der Zielmenge Z zu. Für das einzige, dem Element x ∈ D zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen f(x).

f:DZ,xy

Analytische Eigenschaften

Monoton

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die bei wachsendem Funktionsargument immer nur größer wird oder konstant ist (also niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt. Ändern sich die Werte der Funktion oder die Glieder der Folge nirgends, heißt sie konstant. Streng monoton steigend (resp. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, aber nirgends konstant sind.

Stetig

Eine Funktion heißt stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Argumentes (der Argumente) zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das heißt insbesondere, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten.

Beschränktheit

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn die Funktionswerte f(x) eine obere oder untere Schranke nicht überschreiten. D.h. wenn gilt f(x) ≤ M für alle reellen Zahlen x, dann ist die Funktion f nach oben beschränkt. Wenn M die die kleinste Zahl ist, für die das gilt, dann ist M die obere Schranke bzgl. der Funktion f. Die analoge Definition gilt für die untere Schranke. Ist f(x) für alle x größer als m, so ist m die untere Schranke.

Rationale Funktionen

Lineare Funktionen

x-min= x-max=

Eigenschaften

Lineare Funktionen sind ganze rationale Funktionen. Sie wachsen monoton für a > 0 und fallen monoton für a < 0. Bilder der linearen Funktionen sind Geraden.

fx = a·x+b

mita,bRunda0

a= b=

Quadratische Funktionen

x-min= x-max=

Eigenschaften

Quadratische Funktionen sind ganze rationale Funktionen zweiten Grades. Das Bild einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, die nach oben bzw. nach unten geöffnet ist. Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.

Scheitelpunkt S

S -b2a c-c24a

Ableitung f'

fx = 2·a·x+b

Produkdarstellung

fx = x-x1 x-x2

fx = a·x2+b·x+c

mita,b,cRunda0

a= b= c=

Trigonometrische Funktionen

Allgemeine Sinusfunktion

x-min= x-max=

Bei ungünstig gewähltem Interval in Bezug auf die Frequenz kann bedingt durch die Auflösung der Darstellung ein falsches Bild der Funktion entstehen. Die Maxima und Minima der Funktion sind immer konstant. Bei Abweichungen ist das Intervall kleiner zu wählen.

Eigenschaften

Für a = b = 1 und c = 0 liegt die gewöhnliche Sinusfunktion f(x) = sin(x) vor. Sie ist eine periodische Funktion mit der Periode 2 π und dem Wertebereich -1 ≤ f(x) ≤ 1.

Die allgemeine Sinusfunktion geht durch eine affine Transformation aus der gewöhnlichen Sinusfunktion hervor. Streckung mit dem Faktor a in Richtung der y-Achse, Streckung mit dem Faktor 1/b in Richtung der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse um -c/b.

Häufig werden die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion folgendermaßen benannt:

fx = Asinωx+φ0

dabei bezeichnet A die Amplitude, ω die Kreisfrequenz und φ0 die Anfangsphase.

Viele Vorgänge in Natur und Technik, die den Charakter von Schwingungen tragen, lassen sich durch die allgemeine Sinusfunktion beschreiben.

Ist die Variable der allgemeinen Sinusfunktion die Zeit t dann spricht man von einer harmonischen Schwingung:

ft = Asinωt+φ0

mit der Phasenverschiebung φ0, der Amplitude A, der Schwingungsdauer T = 2 π / ω und der Frequenz f = 1 / T .

fx = asinbx+c

mita,b,cRunda,b>0

a= b= c=

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion exp(x)

x-min= x-max=

Eigenschaften

Die Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Die Funktion hat keine Nullstelle und keine Extrema. Die Funktionswerte sind stets positiv und die Funktion ist für b > 0 monoton steigend und für b < 0 monoton fallend. Die natürliche Exponentialfunktion ex liegt vor für b = 1.

Für die Exponentialfunktion gilt das Additionstheorem:

fx1+x2 = fx1+fx2

Die Inverse der Exponentialfunktion f(x) = ax ist der Logarithmus:

f-1x = logax

Im Spezialfall f(x) = ex ist die Inverse der Logaritmus naturalis:

f-1x = logex = lnx

Anwendungen

Beschreibung des organischen Wachstums: mit g0 Anfangsgröße und c der Wachstumskonstanten

gt = g0ect

Beschreibung eines Zerfallsprozesses: mit m0 Anfangsgröße und λ der Zerfallskonstanten

mt = m0e-λt

Gedämpfte Schwingung: mit der Dämfungskonstanten R

ft = e-Rtsinωt+φ0

fx = cebx

mitb,cRundb,c0

Setzt mana=cebso gilt:

fx = cebx = ax

b= c=

Fehlerfunktion exp(-x2)

x-min= x-max=

Eigenschaften

Die Funktion ist für jeden reellen Wert x definiert und nimmt ihr Maximum bei x = 0 mit y = b an. Das Bild der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.

Ableitung:

fx=-2a2bxe-ax2

Wendepunkte:

xw1=1a2; yw1=be

xw2=-1a2; yw2=be

Steigung der Wendetangenten:

fw1=ab2e

fw2=-ab2e

Spezialfall

Für

b = 12π; a = 12

liegt die Gaußsche Glockenkurve vor. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung.

fx = be-ax2

mitb>0unda0

a= b=

Normalverteilung (Gaußverteilung)

x-min= x-max=

Eigenschaften

Das Bild der Gaußverteilung ist eine Glockenkurve mit dem Maximum und dem Symetriezentrum bei a. Der Parameter σ definiert den Abstand der Wendepunkte vom Symetriezentrum. Ist σ klein, dann ist die Glockenkurve schmal und spitz. Für große σ wird die Funktion flach und breit.

fx = 12πσe-12x-a2σ2

mitσ>0undaR

a= σ=