icon-komplexe-Funktion Mathe Tutorial: Visualisierung komplexer Funktionen

Funktionentheorie

Die Funktionentheorie untersucht Funktionen einer komplexen Veränderlichen also Funktionen komplexer Zahlen, deren Wertebereich ebenfalls komplexe Zahlen sind. Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen in den zweidimensionalen Raum. Viele Rechenregeln der reellen Zahlen lassen sich auf komplexe Zahlen übertragen. Begründet wurde die Theorie der komplexen Funktionen im Wesentlichen durch Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.

Farbkreismethode

Die Farbkreismethode (complex color wheel method oder domain coloring) ist ein Verfahren um komplexe Funktionen grafisch darzustellen. Komplexe Funktionen bilden die komplexe Ebene in wiederum zweidimensionale Werte mit Real- und Imaginärteil ab. Die Farbkreismethode verwendet Betrag r=|f(z)| und Winkel φ des komplexen Funktionswertes f(z) um die Darstellungsfarbe des Funktionswertes festzulegen. Gemäß r und φ des Funktionswertes wird die Farbe aus dem Farbkreis ausgewählt. Der Betrag definiert die Sättigung und wird Modulo auf Intervalle abgebildet. Das erste Interval ist 0...1 dann folgen die Intervalle (1...e], (e...e2], (e2...e3] usw. Der Farbton ist durch den Winkel definiert und in 6 Farbzonen aufgeteilt beginnend mit blau von 0° bis 60° und endend mit grün von 300° bis 360°. Die Methode ist so angelegt, dass Funktionswerte die nah beieinander liegen auch farblich ähnlich dargestellt werden. Die Abbildung der Beträge auf Intervalle der Potenz von e entspricht einer logarithmischen Darstellung.

Farbkreis

Die Zusammenstellung eines Farbkreises kann unter verschiedenen Gesichtspunkten zusammengestellt werden je nachdem welcher Sachverhalt visualisiert werden soll. Grundlage für den Farbkreis ist die Wahrnehmung ähnlicher Farben. Lässt man normalsichtige Versuchspersonen Farbmuster nach der Empfindung auf Ähnlichkeit sortieren, werden die Farbtöne in der Regel in dieselbe Reihenfolge gebracht. Anfang und Ende der Reihe sind sich dabei so ähnlich, dass die Reihe zu einem Kreis geschlossen werden kann.

Farbkreis

Gaußsche-Zahlenebene

Die komplexen Zahlen sind zweidimensional und lassen sich als Vektoren in der gaußschen Zahlenebene darstellen. Auf der horizontalen Achse (Re) wird der Realteil und auf der senkrechten Achse (Im) der Imaginärteil der komplexen Zahl aufgetragen. Analog zu Vektoren kann auch die komplexe Zahl entweder in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordinaten (r, φ) ausgedrückt werden. Bei der Farbkreismethode werden Polarkoordinaten verwendet und der Farbkreis wird Intervallweise auf die Gaußsche-Zahlenebene gelegt.

Gaußsche-Zahlenebene

Farbton (hue)

Der Farbton wird entsprechend des Winkels ausgewählt.

Farbkreis-Farbton

Winkeloffset für den Farbkreis:

φ0=

Helligkeit (lightness)

Die Helligkeit wird gemäß folgendem Diagramm bestimmt.

Farbkreis-Helligkeit Helligkeit

Im Intervall [0,0.5) gilt val = a1 * k + b1

Im Intervall [0.5,1) gilt val = a2 * k + b2

Es ist: min ≤ val ≤ max

Einstellung der Helligkeitsgradienten:

a1= b1=
a2= b2=
max= min=

Sättigung (saturation)

Die Sättigung wird gemäß folgendem Diagramm bestimmt.

Farbkreis-Sättigung Sättigung

Im Intervall [0,0.5) gilt sat = a1 * k + b1

Im Intervall [0.5,1) gilt sat = a2 * k + b2

Es ist: min ≤ sat ≤ max

Einstellung der Sättigungsgradienten:

a1= b1=
a2= b2=
max= min=

Auswahl eines Farbschemas

Links

Darstellung komplexer Funktionen

Lineare komplexe Funktion

fz = z = x+iy

mitzC

Lineare-Komplexe-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Realteil von f(z):

Refz = x

Imaginärteil von f(z):

Imfz = y

Betrag von f(z):

fz = x2+y2

Argument φ von f(z):

φfz = atanxy

Quadratische komplexe Funktion

fz = z2

mitzC

Quadratische-Komplexe-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Realteil von f(z):

Refz = x2-y2

Imaginärteil von f(z):

Imfz = 2xy

Betrag von f(z):

fz = x2+y2

Argument φ von f(z):

φfz = atan2xyx2-y2

Gebrochen rationale komplexe Funktion

fz = 1z-a

mitzCunda=α+iβ

Rationale-Komplexe-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=
α=
β=

Realteil von f(z):

Refz = x-αx-α2-y-β2

Imaginärteil von f(z):

Imfz = -y-βx-α2-y-β2

Betrag von f(z):

fz = 1x-α2-y-β2

Argument φ von f(z):

φfz = atany-βα-x

Gebrochen lineare Funktion

fz = z+az+b

mitzCunda=α+iβ;b=γ+iδ

Gebrochen-lineare-komplexe-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=
α=
β=
γ=
δ=

Realteil von f(z):

Refz = x+α x+γ + y+β y+δ x+γ2 + y+δ2

Imaginärteil von f(z):

Imfz = y+β x+γ - y+δ x+α x+γ2 + y+δ2

fz = 1z-a + 1z-b

mitzCunda=α+iβ;b=γ+iδ

Gebrochen-Rationale-Komplexe-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=
α=
β=
γ=
δ=

Die Funktion f ist eine Zusammensetzung der vorherigen f=f1+f2 und so ergeben sich Real- und Imaginärteil aus der Addition der einzelnen Funktionen f1 und f2.

Realteil von f(z):

Ref1+f2 = Ref1+Ref2

Imaginärteil von f(z):

Imf1+f2 = Imf1+Imf2

Komplexe e-Funktion

fz = ez

mitzC

Komplexe-e-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Realteil von f(z):

Refz = excosy

Imaginärteil von f(z):

Imfz = exsiny

Betrag von f(z):

fz = ex

Argument φ von f(z):

φfz = y+2nπ

exp(z) / (z-a)

fz = ezz-a

mitzCunda=α+iβ

Komplexe-e-Funktion-durch-z
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=
α=
β=

Die Funktion f ist ein Produkt zweier Funktionen f=f1 * f2 und so ergeben sich Real- und Imaginärteil folgendermaßen:

Realteil von f(z):

Ref1*f2 = Ref1Ref2-Imf1Imf2

Imaginärteil von f(z):

Imf1*f2 = Ref1Imf2+Ref2Imf1

exp(z)/(z-a) + (z+b)/(z+c)

fz = ezz-a + z+bz+c

mitzCunda=α+iβ;b=γ+iδ;c=ε+iζ

Komplexe-exp_z-durch-z
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=
α=
β=
γ=
δ=
ε=
ζ=

Die Funktion f ist ein Produkt zweier Funktionen f=f1 * f2 und so ergeben sich Real- und Imaginärteil folgendermaßen:

Realteil von f(z):

Ref1*f2 = Ref1Ref2-Imf1Imf2

Imaginärteil von f(z):

Imf1*f2 = Ref1Imf2+Ref2Imf1

Die Funktion f ist außerdem die Summe zweier Funktionen f=f1+f2 und so ergeben sich Real- und Imaginärteil aus der Addition der einzelnen Summanden f1 und f2.

Realteil von f(z):

Ref1+f2 = Ref1+Ref2

Imaginärteil von f(z):

Imf1+f2 = Imf1+Imf2

Komplexe Sinusfunktion

fz = sinz

mitzC

Komplexe-sin-Funktion
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Realteil von f(z):

Refz = sinxcoshy

Imaginärteil von f(z):

Imfz = cosxsinhy

Betrag von f(z):

fz = sin2x+sinh2y

Argument φ von f(z):

φfz = atancotxtanhy

x2 + i y2

fz = x2+iy2

play
x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Realteil von f(z):

Refz = x2

Imaginärteil von f(z):

Imfz = y2

Betrag von f(z):

fz = x2+y2

Argument φ von f(z):

φfz = atany2x2