Rechner zur Berechnung der Adjunkten einer NxN-Matrix

Der Rechner berechnet die adjungierte Matrix einer gegebenen NxN-Matrix und verwendet das Ergebnis, um auch die inverse Matrix zu berechnen. Der Rechner zeigt die Berechnung jedes Elements der adjungierten Matrix an. Das Eingabefeld N definiert die Anzahl der Zeilen und Spalten. Das Eingabefeld digits dient zur Einstellung der Anzahl der angezeigten Ziffern. Bei Einstellung von N werden die zugehörigen Matrixfelder zur Eingabe der Matrixelemente angezeigt. Mit dem Auswahlknopf 'Berechnen' beginnt die Berechnung der adjungierten und inversen Matrix. Mit dem Auswahlknopf 'Einzelschritte' werden auch die Elemente der Kofaktormatrix angezeigt.

Rechner Adjunkte-Matrix von

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 N} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 N} \\ ⋮ \\ a_{N 1} & a_{N 2} & \dots & a_{N N} \end{matrix})$

Berechnung der Adjunkten einer Matrix

Die Adjunkte wird häufig zur Berechnung der Inversen einer quadratischen Matrix verwendet. Zur Definition der Adjunkten ist es sinnvoll zunächst einige Begriffe zu definieren.

Minoren

Die Minoren einer Matrix A werden gebildet, indem zu jedem Matrixelement a_ij die Unterdeterminante durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte bildet. Die Werte dieser Determinanten sind die Minoren m_ij der Matrix A.

Kofaktormatrix

Die Kofaktormatrix Cof(A) einer Matrix A wird aus den Minoren gebildet, indem jeder Minor m_ij mit einem Vorzeichen (-1)^i+j multipliziert wird. Die Elemente der Kofaktormatrix sind also a^*_ij=(-1)^i+j * m_ij .

$a_{i j}^{*} = {(- 1)}^{(i + j)} m_{i j}$

$Cof (A) = (\begin{matrix} a_{11}^{*} & a_{12}^{*} & \dots & a_{1 n}^{*} \\ a_{21}^{*} & a_{22}^{*} & \dots & a_{2 n}^{*} \\ ⋮ \\ a_{n 1}^{*} & a_{n 2}^{*} & \dots & a_{n n}^{*} \end{matrix})$

Damit ist die Adjunkte der Matrix A folgendermaßen definiert.

$adj(A)= {Cof (A)}^{T}$

Hinweis:

Bei den Begriffen und Definitionen zur Adjunkten kann es leicht zu Missverständnissen kommen. In der Literatur finden sich unterschiedliche Definitionen der Adjunkten. Manchmal wird die Kofaktormatrix als Adjunkte verwendet. Desweiteren ist zu beachten, dass die Adjunkte nicht die adjungierte Matrix ist. Die adjungierte Matrix ist für reelle Matrizen gleich der transponierten Matrix und für komplexe Matrizen die Transponierte mit konjugierte komplexen Elementen.

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