Die Taylorreihe wird in der Analysis verwendet, um eine glatte Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen, welche der Grenzwert der Taylor-Polynome ist. Diese Reihenentwicklung wird Taylor-Entwicklung genannt. Reihe und Entwicklung sind nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor benannt.
Mit dem Rechner kann eine Taylorreihenentwicklung an eine Funktion erfolgen. Der Punkt um den die Entwicklung des Polynoms erfolgt kann auf dem Graphen verschoben werden. Die Neuberechnung erfolgt nach Anwahl des 'Aktualisieren' Buttons. In der Definition der Funktion können die Parameter a, b und c verwendet werden und mittels der Slider variiert werden.
f(x)=
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| sin(x) | Sinus |
| cos(x) | Cosinus |
| tan(x) | Tangens |
| asin(x) | Arcussinus |
| acos(x) | Arcuscosinus |
| atan(x) | Arcustangens |
| atan2(y, x) | Arcustangens von y/x |
| cosh(x) | Cosinus hyperbolicus |
| sinh(x) | Sinus hyperbolicus |
| pow(a, b) | Potenz ab |
| sqrt(x) | Quadratwurzel |
| exp(x) | e-Funktion |
| log(x), ln(x) | Natürlicher Logarithmus |
| log(x, b) | Logarithmus zur Basis b |
| log2(x), lb(x) | Logarithmus zur Basis 2 |
| log10(x), ld(x) | Logarithmus zur Basis 10 |
Hier sind die Ableitungen für die Taylorreihenglieder aufgelistet:
Die Taylorreihe ist eine Methode der Mathematik, um eine Funktion durch eine endliche Summe von Potenzen einer Variablen zu approximieren. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor, der sie im 18. Jahrhundert entwickelt hat. Eine Taylorreihe beschreibt eine Funktion f(x) um einen bestimmten Punkt a herum, und besteht aus einer Summe von Potenzen von (x-a) mit Koeffizienten, die die Ableitungen der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt a darstellen.
Eine allgemeine Form einer Taylorreihe ist:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!) (x-a)^2 + ... + (f^(n)(a)/n!) (x-a)^n + ...
Die Taylorreihe ermöglicht es, eine Funktion in einer Umgebung des Punktes a zu approximieren, indem man nur eine begrenzte Anzahl von Ableitungen berücksichtigt. Je höher die Anzahl der berücksichtigten Ableitungen ist, desto genauer ist die Approximation. Die Taylorreihe hat viele Anwendungen in der Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaft, Finanzmathematik und vielen anderen Bereichen. Sie wird verwendet, um komplexe Funktionen zu vereinfachen, um Probleme analytisch zu lösen und um numerische Lösungen von Differentialgleichungen zu finden.
Wenn eine Funktion f(x) genügend oft differenzierbar ist, kann sie durch ein Polynom n-ter Ordnung approximiert werden.
Die Taylorreihe lautet:
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