Ableitungsrechner

Ableitungsrechner für gewöhnliche und partielle Ableitungen

Der Ableitungsrechner berechnet Ableitung der Funktion nach x oder die partielle Ableitung nach x, y oder z sowie den 3d-Gradienten der Funktion mit den Komponenten der partiellen Ableitungen nach x, y und z.

Eingabefeld für die abzuleitende Funktion. Mit 'ok' wird die eingegebene Funktion übernommen. Mit ∂/∂... können dann die entsprechenden Ableitungen gebildet werden. Mehrfache Anwendung führt jeweils zur Ableitung der Vorgängerfunktion.

f(...) =

cl

ok

^dⁿ / _dxⁿ

^∂ⁿ / _∂xⁿ

^∂ⁿ / _∂yⁿ

^∂ⁿ / _∂zⁿ

grad(f) ∇f

Pos1

End

7

8

9

/

Δ

x

y

z

4

5

6

*

Ω

a

b

c

1

2

3

-

μ

π

(

)

0

.

+

ω

sin

cos

tan

e^x

ln

x^a

^a / _x

^

σ

asin

acos

atan

x²

√x

a^x

^a / _x+b

|x|

δ

sinh

cosh

^a⋅x+c / _b⋅y+c

^a+x / _b+z

^z²-a²/ _z²+a²

^a / _x+b

^1+√y / _1-√y

e^a⋅xsin(y)cos(z)

√x+a

√e^a⋅x

Verwendbare Ausdrücke in der Definition der Funktion

Konstanten

Name	Beschreibung
LN2	Natürlicher Logarithmus von 2
LN10	Natürlicher Logarithmus von 10
LOG2E	Basis 2 Logarithmus von e
LOG10E	Basis 10 Logarithmus von e
PI	Kreiszahl Pi
SQRT1_2	Quadratwurzel von 1/2
SQRT2	Quadratwurzel von 2

Trigonometrische Funktionen

Funktion	Beschreibung
sin(x)	Sinus
cos(x)	Cosinus
tan(x)	Tangens
asin(x)	Arcussinus
acos(x)	Arcuscosinus
atan(x)	Arcustangens
atan2(y, x)	Arcustangens von x/y
cosh(x)	Cosinus hyperbolicus
sinh(x)	Sinus hyperbolicus

Logarithmen und Exponenten

Funktion	Beschreibung
pow(a,b)	a hoch b
sqrt(x)	Quadratwurzel
exp(x)	e-Funktion
log(x), ln(x)	Natürlicher Logarithmus
log(x, b)	Logarithmus zur Basis b
log2(x), lb(x)	Logarithmus zur Basis 2
log10(x), ld(x)	Logarithmus zur Basis 10

Weitere Funktionen

Funktion	Beschreibung
ceil(x)	Kleinste ganze Zahl n mit n > x.
abs(x)	Betrag
max(a, b, c, ...)	Maximum
min(a, b, c, ...)	Minimum
random()	Zufallszahl
round(v)	Rundung zur nächsten ganzen Zahl
floor(x)	Größte ganze Zahl n mit n < x.
factorial(n)	Fakultät
trunc(v, p = 0)	Truncate
V(s)	Wert des Sliders

Ableitungsregeln kurz gefasst

Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten

$(a \cdot f)' = a \cdot f'$

Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden

$(f_{1} + f_{2})' = f_{1}' + f_{2}'$

Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten

${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Brüchen

${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$

Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

$(f (g (x)))' = f' (g) \cdot g' (x)$

Elementare Ableitungen:

$\frac{d}{d x} Const. = 0$

$\frac{d}{d x} x = 1$

$\frac{d}{d x} x^{n} = n \cdot x^{n - 1}$

Ableitung n-te Wurzel:

$\frac{d}{d x} \sqrt[n]{x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1 - n}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \sqrt[n]{x^{1 - n}} = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$

Ableitung Quadratwurzel:

$\frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$

Ableitung Kubikwurzel:

$\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$

Ableitung trigonometrischer Funktionen:

$\frac{d}{d x} \sin (x) = \cos (x)$

$\frac{d}{d x} \cos (x) = - \sin (x)$

$\frac{d}{d x} \sin (k x)$ $= k \cos (k x)$

$\frac{d}{d x} \cos (k x)$ $= - k \sin (k x)$

$\frac{d}{d x} \tan (x)$ $= \frac{d}{d x} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ $= \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Ableitungen der e-Funktion:

$\frac{d}{d x} e^{x} = (e^{x})' = e^{x}$

$\frac{d}{d x} e^{a x}$ $= (e^{a x})'$ $= a e^{a x}$

$\frac{d}{d x} e^{a x^{2}}$ $= (e^{a x^{2}})'$ $= 2 a x e^{a x^{2}}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{x}}$ $= (\frac{1}{e^{x}})'$ $= (e^{- x})'$ $= - e^{- x}$ $= - \frac{1}{e^{x}}$

$\frac{d}{d x} e^{\ln (x)}$ $= (e^{\ln (x)})'$ $= (x)'$ $= 1$

$\frac{d}{d x} e^{x^{n}}$ $= (e^{x^{n}})'$ $= n x^{n - 1} e^{x^{n}}$

$\frac{d}{d x} {(e^{x})}^{n}$ $= ({(e^{x})}^{n})'$ $= (e^{n x})'$ $= n e^{n x}$

Ableitung der Logarithmusfunktionen:

$\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{d x} \log_{a} (x) = \frac{1}{x} \log_{a} (e)$

Partielle Ableitungen

Bei Funktionen mit mehreren Variablen wird die Ableitung nach einer der Variablen als partielle Ableitung bezeichnet.

Für eine Funktion von x und weiteren Variablen wird die partielle Ableitung nach x wie im folgenden geschrieben.

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y, . . .)$

Bei partiellen Ableitungen werden weitere Variablen als Konstanten behandelt.

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