Ableitungsrechner für gewöhnliche und partielle Ableitungen

Der Online-Ableitungsrechner berechnet die Ableitung einer Funktion nach x oder die partielle Ableitung nach x, y oder z sowie den 3d-Gradienten der Funktion mit den Komponenten der partiellen Ableitungen nach x, y und z. Durch weitere Anwendung der Ableitungsfunktionen können höhere und gemischte Ableitungen gebildet werden.

Eingabefeld für die abzuleitende Funktion. Mit 'ok' wird die eingegebene Funktion übernommen. Mit ∂/∂... können dann die entsprechenden Ableitungen gebildet werden. Mehrfache Anwendung führt jeweils zur Ableitung der Vorgängerfunktion.

Ableitungsregeln kurz gefasst

Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten

$\left(a\cdot f\right)\prime =a\cdot f\prime$

Summenregel: Beim Ableiten einer Summe können die Summanden einzeln abgeleitet werden

$\left(f_1+f_2\right)\prime =f_1\prime +f_2\prime$

Produktregel: Regel zum Ableiten von Produkten

${\left(u\cdot v\right)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

Quotientenregel: Regel zum Ableiten von Brüchen

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$

Kettenregel: Geschachtelte Funktionen gehen beim Differenzieren über in ein Produkt der Ableitungen

$(f\left(g\left(x\right))\right)\prime =f\prime \left(g\right)\cdot g\prime \left(x\right)$

Elementare Ableitungen:

$\frac{d}{dx}\mathrm{Const.}=0$

$\frac{d}{dx}x=1$

$\frac{d}{dx}{x}^n=n\cdot x^{n-1}$

Ableitung n-te Wurzel:

${\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{n}\cdot \sqrt[n]{x^{1-n}}=\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}}$

Ableitung Quadratwurzel:

${\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}$

Ableitung Kubikwurzel:

${\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}}}$

Ableitung trigonometrischer Funktionen:

$\frac{d}{dx}\sin \mathrm{(}x\mathrm{)}=\cos \mathrm{(}x\mathrm{)}$

$\frac{d}{dx}\cos \mathrm{(}x\mathrm{)}=-\sin \mathrm{(}x\mathrm{)}$

$\frac{d}{dx}\sin \mathrm{(}kx\mathrm{)}$$=k\cos \mathrm{(}kx\mathrm{)}$

$\frac{d}{dx}\cos \mathrm{(}kx\mathrm{)}$$=-k\sin \mathrm{(}kx\mathrm{)}$

$\frac{d}{dx}\tan \mathrm{(}x\mathrm{)}$$=\frac{d}{dx}\frac{\sin \mathrm{(}x\mathrm{)}}{\cos \mathrm{(}x\mathrm{)}}$$=\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{(}x\mathrm{)}}$

Ableitungen der e-Funktion:

${\displaystyle \frac{d}{dx}{e}^x=\left(e^x\right)\prime =e^x}$

$\frac{d}{dx}{e}^{ax}$$=\left(e^{ax}\right)\prime$$=a{e}^{ax}$

$\frac{d}{dx}{e}^{a{x}^2}$$=\left(e^{a{x}^2}\right)\prime$$=2ax{e}^{a{x}^2}$

$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x}$$=\left(\frac{1}{e^x}\right)\prime$$=\left(e^{-x}\right)\prime$$=-e^{-x}$$=-\frac{1}{e^x}$

$\frac{d}{dx}{e}^{\ln \left(x\right)}$$=\left(e^{\ln \left(x\right)}\right)\prime$$=\left(x\right)\prime$$=1$

$\frac{d}{dx}{e}^{x^n}$$=\left(e^{x^n}\right)\prime$$=n{x}^{n-1}{e}^{x^n}$

$\frac{d}{dx}{\left(e^x\right)}^n$$=\left({\left(e^x\right)}^n\right)\prime$$=\left(e^{nx}\right)\prime$$=n{e}^{nx}$

Ableitung der Logarithmusfunktionen:

$\frac{d}{dx}\ln \mathrm{(}x\mathrm{)}=\frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}{\log }_a\mathrm{(}x\mathrm{)}=\frac{1}{x}{\log }_a\mathrm{(}e\mathrm{)}$

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion bei einem bestimmten Eingangswert beschreibt die Änderungsrate der Funktion in der Nähe dieses Eingangswertes. Der Prozess der Ermittlung einer Ableitung wird als Differenzierung bezeichnet. Geometrisch gesehen ist die Ableitung an einem Punkt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt, vorausgesetzt, die Ableitung existiert und ist an diesem Punkt definiert. Bei einer reellwertigen Funktion einer einzigen reellen Variablen bestimmt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt im Allgemeinen die beste lineare Annäherung an die Funktion an diesem Punkt.

Differenzial- und Integralrechnung sind durch den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung miteinander verbunden, der besagt, dass die Differenzierung der umgekehrte Prozess zur Integration ist. Die Differenzialrechnung findet in fast allen quantitativen Disziplinen Anwendung. In der Physik ist die Ableitung der Verschiebung eines sich bewegenden Körpers nach der Zeit die Geschwindigkeit des Körpers, und die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung. Die Ableitung des Impulses eines Körpers nach der Zeit ist gleich der Kraft, die auf den Körper einwirkt.

Partielle Ableitungen

Eine partielle Ableitung ist eine Ableitung einer Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nach einer bestimmten Variablen, wobei die anderen Variablen als Konstanten behandelt werden. Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, können wir ihre Ableitung in Bezug auf jede Variable betrachten, als ob die anderen Variablen festgehalten werden. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) nach x würde also bedeuten, dass wir die Ableitung von f(x,y) in Bezug auf x berechnen, wobei y als Konstante behandelt wird. Die partielle Ableitung von f(x,y) nach y bedeutet, dass wir die Ableitung von f(x,y) in Bezug auf y berechnen, wobei x als Konstante behandelt wird. Mathematisch wird die partielle Ableitung einer Funktion f(x1, x2, ..., xn) nach einer Variablen xi durch den Ausdruck ∂f/∂xi ausgedrückt. Das Symbol ∂ (Partialdifferential) wird verwendet, um anzuzeigen, dass wir eine partielle Ableitung berechnen, im Gegensatz zur gewöhnlichen Ableitung, die mit d/dx dargestellt wird.

Für eine Funktion von x und weiteren Variablen wird die partielle Ableitung nach x wie im folgenden geschrieben.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}f(x,y,...)}$

Bei partiellen Ableitungen werden die weiteren Variablen als Konstanten behandelt.

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