Kalkulator wyznaczników dla macierzy 3x3

Kalkulator online Wyznacznik 3x3

Kalkulator online oblicza wartość wyznacznika macierzy 3x3 według reguły Sarrusa i z rozwinięciem Laplace'a według wiersza lub kolumny.

Determinant 3x3

det A= | a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 |

Wprowadzanie współczynników wyznacznika

↹#.000
a11=
a12=
a13=
a21=
a22=
a23=
a31=
a32=
a33=

Obliczanie wyznacznika

Obliczenia z zastosowaniem zasady Sarrusa

Wyznacznik macierzy 3x3 obliczamy w następujący sposób zgodnie z regułą Sarrusa. Schematycznie powtarza się kolumny wyznacznika, tak aby wyraźnie przedstawić przekątne główne i pomocnicze. Następnie tworzymy iloczyny głównych przekątnych i dodajemy je. W ten sam sposób postępujemy z przekątnymi drugorzędnymi. Różnica między nimi daje wyznacznik macierzy.

Obliczenia z wykorzystaniem ewolucji Laplace'a

Rozwinięcie Laplace'a jest ogólną metodą obliczania wyznacznika. Kalkulator rozwija wyznacznik albo według wiersza albo według kolumny. Wiersz lub kolumna mogą być wybrane i są oznaczone strzałką.

Obliczenia metodą Gaussa

Uwaga:

Jeśli wiodące współczynniki są zerowe, kolumny lub wiersze muszą być odpowiednio zamienione przed użyciem, tak aby możliwe było dzielenie przez wiodący współczynnik.

Objaśnienie procedur

Wyznacznik macierzy 3x3 według reguły Sarrusa

Wyznacznik macierzy 3x3 oblicza się w następujący sposób zgodnie z regułą Sarrusa. Schematycznie powtarza się kolumny wyznacznika tak, aby jednoznacznie przedstawić przekątne główne i pomocnicze. Następnie tworzymy iloczyny głównych przekątnych i dodajemy je. W ten sam sposób postępujemy z przekątnymi drugorzędnymi. Różnica między nimi daje wyznacznik macierzy.

Determinante

Twierdzenie o rozwoju Laplaciana

Twierdzenie rozwinięcia Laplace'a podaje metodę obliczania wyznacznika, w której wyznacznik jest rozwijany według wiersza lub kolumny. W procesie tym wymiar jest zmniejszany i może być zmniejszany krok po kroku coraz dalej, aż stanie się skalarem.

det A= i = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Rozwój według j-tej kolumny )

det A= j = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Rozwój po i-tym rzędzie )

gdzie Aij jest podmacierzą A, która powstaje po usunięciu wiersza i i kolumny j.

Przykład rozwinięcia Laplace'a z wykorzystaniem macierzy 3x3 po pierwszym rzędzie

det A= | a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 |

Pierwszym elementem jest czynnik a11 oraz subdeterminanta dana przez elementy zaznaczone na zielono.

| a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 | => a11 | a22a23 a32a33 |

Drugim elementem jest czynnik a12 oraz subdeterminanta dana przez elementy zaznaczone na zielono.

| a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 | => a12 | a21a23 a31a33 |

Trzecim elementem jest czynnik a13 oraz subdeterminanta dana przez elementy zaznaczone na zielono.

| a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 | => a13 | a21a22 a31a32 |

Mając trzy elementy, wyznacznik można wyrazić jako sumę wyznaczników 2x2.

det A= | a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 | = a11 | a22a23 a32a33 | - a12 | a21a23 a31a33 | + a13 | a21a22 a31a32 |

Należy koniecznie zwrócić uwagę na to, że znak elementów występuje naprzemiennie.

| +-+ -+- +-+ |

Metoda gaussowska

Algorytm gaussowski opiera się na równoważnych przekształceniach macierzy. Przekształcenia: Zamiana wierszy, mnożenie wierszy przez niezerowe czynniki oraz dodawanie wielokrotności jednego wiersza z drugim przekształcają macierz do postaci schodkowej. Jeżeli macierz ma postać diagonalną i wszystkie elementy głównej przekątnej mają wartość 1, to prefaktorem jest wartość wyznacznika.

det A= | a11a12a1n aj1aj2ajn an1an2ann | =λ | 1a12a1n 01ajn 001 | =λdet A'=λ

Więcej stron na ten temat

Oto kilka kolejnych stron:

Treść ćwiczenia z matematyki

Matryca

Kalkulator wyznaczników dla macierzy 2x2 Kalkulator wyznaczników dla macierzy 3x3 Kalkulator dla wyznaczników 4x4 Kalkulator wyznaczników dla macierzy 5x5 Kalkulator wyznaczników dla macierzy NxN Iloczyn wektorowy macierzy

Transformata Fouriera

Kalkulator Transformata Fouriera