Kalkulator dla wyznaczników 5x5

Online kalkulator wyznacznika 5x5

Kalkulator online oblicza wartość wyznacznika macierzy 5x5 przy użyciu rozszerzenia Laplace'a przez wiersz lub kolumnę.

Determinant 5x5

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}\end{array}\right|$

Wprowadzanie współczynników wyznacznika

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₁₄=

a₁₅=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₂₄=

a₂₅=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

a₃₄=

a₃₅=

a₄₁=

a₄₂=

a₄₃=

a₄₄=

a₄₅=

a₅₁=

a₅₂=

a₅₃=

a₅₄=

a₅₅=

Obliczenia z wykorzystaniem ewolucji Laplace'a

Rozwinięcie Laplace'a to ogólna metoda obliczania wyznacznika. Kalkulator rozwija wyznacznik według wiersza lub kolumny. Wiersz lub kolumnę można wybrać i są one oznaczone strzałką.

Obliczenia metodą Gaussa

Uwaga:

Jeśli współczynniki wiodące wynoszą zero, kolumny lub wiersze muszą zostać odpowiednio zamienione przed użyciem, aby możliwe było dzielenie przez współczynnik wiodący.

Twierdzenie o rozwinięciu Laplaciana

Twierdzenie Laplace'a o rozwinięciu daje metodę obliczania wyznacznika, w której wyznacznik jest rozwijany według wiersza lub kolumny. W procesie tym wymiar jest redukowany i może być redukowany krok po kroku, aż stanie się skalarem.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Rozwój zgodnie z j-tą kolumną )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Rozwój po i-tym wierszu )}$

gdzie A_ij to podtarcza macierzy A, która powstaje po usunięciu wiersza i i kolumny j.

Przykład rozwinięcia Laplace'a przy użyciu macierzy 3x3 po pierwszym wierszu

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Pierwszym elementem jest czynnik a₁₁ i subwyznacznik podany przez elementy zaznaczone na zielono.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Drugim elementem jest czynnik a₁₂ i subwyznacznik podany przez elementy zaznaczone na zielono.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

Trzecim elementem jest czynnik a₁₃ i subwyznacznik podany przez elementy zaznaczone na zielono.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Z trzema elementami, wyznacznik może być wyrażony jako suma wyznaczników 2x2.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Należy zauważyć, że znak elementów zmienia się.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Metoda gaussowska

Metoda Gaussa jest używana do przekształcenia wyznacznika tak, aby elementy dolnej macierzy trójkątnej stały się zerami. Wykorzystywane są do tego reguły współczynnika wiersza i dodawania wierszy. Dodanie wierszy nie zmienia wartości wyznacznika. Czynniki wiersza muszą być traktowane jako mnożniki przed wyznacznikiem. Jeśli wyznacznik ma postać trójkątną, a elementy głównej przekątnej są równe jeden, to czynnik przed wyznacznikiem odpowiada wartości samego wyznacznika.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

Więcej stron na ten temat

Oto kilka kolejnych stron:

Treść ćwiczenia z matematyki

Matryca

Kalkulator wyznaczników dla macierzy 2x2 Kalkulator wyznaczników dla macierzy 3x3 Kalkulator wyznaczników dla macierzy 4x4 Kalkulator wyznaczników dla macierzy NxN Iloczyn wektorowy macierzy

Transformata Fouriera

Kalkulator Transformata Fouriera

Gradient

Kalkulator gradientu