Kalkulator dla wyznaczników 4x4

Kalkulator online Determinant 4x4

Kalkulator online oblicza wartość wyznacznika macierzy 4x4 z wykorzystaniem rozwinięcia Laplace'a o wiersz lub kolumnę.

Determinant 4x4

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$

Wprowadzanie współczynników wyznacznika

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₁₄=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₂₄=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

a₃₄=

a₄₁=

a₄₂=

a₄₃=

a₄₄=

Obliczenia z wykorzystaniem ewolucji Laplace'a

Rozwinięcie Laplace'a jest ogólną metodą obliczania wyznacznika. Kalkulator rozwija wyznacznik albo według wiersza albo według kolumny. Wiersz lub kolumna mogą być wybrane i są oznaczone strzałką.

Obliczenia metodą Gaussa

Uwaga: Jeśli współczynniki wiodące są zerowe, to przed użyciem należy odpowiednio zamienić kolumny lub wiersze, aby możliwe było dzielenie przez współczynnik wiodący.

Twierdzenie o rozwoju Laplaciana

Twierdzenie rozwinięcia Laplace'a podaje metodę obliczania wyznacznika, w której wyznacznik jest rozwijany według wiersza lub kolumny. W procesie tym wymiar jest zmniejszany i może być zmniejszany krok po kroku coraz dalej, aż stanie się skalarem.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Rozwój według j-tej kolumny )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Rozwój po i-tym rzędzie )}$

gdzie A_ij jest podmacierzą A, która powstaje po usunięciu wiersza i i kolumny j.

Przykład rozwinięcia Laplace'a z wykorzystaniem macierzy 3x3 po pierwszym rzędzie

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Pierwszym elementem jest czynnik a₁₁ oraz subdeterminanta dana przez elementy zaznaczone na zielono.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Drugim elementem jest czynnik a₁₂ oraz subdeterminanta dana przez elementy zaznaczone na zielono.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

Trzecim elementem jest czynnik a₁₃ oraz subdeterminanta dana przez elementy zaznaczone na zielono.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Mając trzy elementy, wyznacznik można wyrazić jako sumę wyznaczników 2x2.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Należy koniecznie zwrócić uwagę na to, że znak elementów występuje naprzemiennie.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Metoda gaussowska

Algorytm gaussowski opiera się na równoważnych przekształceniach macierzy. Przekształcenia: Zamiana wierszy, mnożenie wierszy przez niezerowe czynniki oraz dodawanie wielokrotności jednego wiersza z drugim przekształcają macierz do postaci schodkowej. Jeśli macierz ma postać diagonalną i wszystkie elementy głównej przekątnej mają wartość 1, to prefaktorem jest wartość wyznacznika.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

Więcej stron na ten temat

Oto kilka kolejnych stron:

Treść ćwiczenia z matematyki

Matryca

Kalkulator wyznaczników dla macierzy 2x2 Kalkulator wyznaczników dla macierzy 3x3 Kalkulator wyznaczników dla macierzy 5x5 Kalkulator wyznaczników dla macierzy NxN Iloczyn wektorowy macierzy

Transformata Fouriera

Kalkulator Transformata Fouriera

Gradient

Kalkulator gradientu