Determinantenrechner für 3x3 Matrizen

Online-Rechner Determinante 3x3

Der Online-Rechner berechnet den Wert der Determinante einer 3x3 Matrix nach der Sarrus Regel und mit der Laplace Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.

Determinante 3x3

det A= a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33

Eingabe der Koeffizenten der Determinante

a11= a12= a13=

a21= a22= a23=

a31= a32= a33=

Berechnung der Determinante

Berechnung mit der Sarrus-Regel

Die Determinante der 3x3 Matrix wird folgendermaßen nach der Sarrus regel berechnet. Schematisch werden die Spalten der Determinante wiederholt, so dass die Haupt- und Nebendiagonalen übersichtlich dargestellt sind. Dann bildet man die Produkte der Hauptdiagonalen und addiert diese. Mit den Nebendiagonalen verfährt man ebenso. Die Differenz aus beiden ergibt die Determinante der Matrix.

Berechnung mit der Laplace-Entwicklung

Die Laplace-Entwicklung ist ein allgemeines Verfahren um eine Determinante zu berechnen. Der Rechner entwickelt die Determinante wahlweise nach einer Zeile oder Spalte. Die Zeile oder Spalte kann gewält werden und wird durch einen Pfeil markiert.

Berechnung mit dem Gauss-Verfahren

Hinweis:

Sollten führende Koeffizienten Null sein müssen vor der Verwendung Spalten bzw. Zeilen entsprechend vertauscht werden, so dass eine Divison durch den führenden Koeffizienten möglich ist.

Erläuterung der Verfahren

Determinante einer 3x3 Matrix nach der Sarrus-Regel

Die Determinante der 3x3 Matrix wird folgendermaßen nach der Sarrus-Regel berechnet. Schematisch werden die Spalten der Determinante wiederholt, so dass die Haupt- und Nebendiagonalen übersichtlich dargestellt sind. Dann bildet man die Produkte der Hauptdiagonalen und addiert diese. Mit den Nebendiagonalen verfährt man ebenso. Die Differenz aus beiden ergibt die Determinante der Matrix.

Determinante

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz gibt ein Verfahren zur Berechnung der Determinante an, bei dem die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt wird. Dabei wird die Dimension reduziert und kann schrittweise immer weiter reduziert werden bis zum Skalar.

det A= i = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Entwicklung nach der j-ten Spalte )

det A= j = 1 n -1 i + j a i j det A i j ( Entwicklung nach der i-ten Zeile )

wobei Aij die Untermatrix von A ist, die entsteht wenn die Zeile i und die Spalte j gestrichen werden.

Beispiel für die Laplace-Entwicklung anhand einer 3x3 Matrix nach der ersten Zeile

det A= a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33

Das erste Element ist der Faktor a11 und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 => a11 a22a23 a32a33

Das zweite Element ist der Faktor a12 und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 => a12 a21a23 a31a33

Das dritte Element ist der Faktor a13 und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 => a13 a21a22 a31a32

Mit den drei Elementen kann die Determinante als eine Summe von 2x2 Determinanten ausgedrückt werden.

det A= a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 = a11 a22a23 a32a33 - a12 a21a23 a31a33 + a13 a21a22 a31a32

Es ist wesentlich zu beachten, dass das Vorzeichen der Elemente alterniert.

+-+ -+- +-+

Gauß-Verfahren

Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen der Matrix. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen die Matrix in Treppenform. Wenn die Matrix auf Diagonalform ist und die Hauptdiagonalelemente alle 1 sind ist der Vorfaktor der Wert der Determinate.

det A= a11a12a13... a21a22a23... a31a32a33... ... =det A 1b12b13... 01b23... 001... ...

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