Determinantenrechner für 3x3 Matrizen

Online-Rechner Determinante 3x3

Der Online-Rechner berechnet den Wert der Determinante einer 3x3 Matrix nach der Sarrus Regel und mit der Laplace Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.

Determinante 3x3

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Eingabe der Koeffizenten der Determinante

↹#.000

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

Berechnung der Determinante

Berechnung mit der Sarrus-Regel

Die Determinante der 3x3 Matrix wird folgendermaßen nach der Sarrus regel berechnet. Schematisch werden die Spalten der Determinante wiederholt, so dass die Haupt- und Nebendiagonalen übersichtlich dargestellt sind. Dann bildet man die Produkte der Hauptdiagonalen und addiert diese. Mit den Nebendiagonalen verfährt man ebenso. Die Differenz aus beiden ergibt die Determinante der Matrix.

Berechnung mit der Laplace-Entwicklung

Die Laplace-Entwicklung ist ein allgemeines Verfahren um eine Determinante zu berechnen. Der Rechner entwickelt die Determinante wahlweise nach einer Zeile oder Spalte. Die Zeile oder Spalte kann gewält werden und wird durch einen Pfeil markiert.

Berechnung mit dem Gauss-Verfahren

Hinweis:

Sollten führende Koeffizienten Null sein müssen vor der Verwendung Spalten bzw. Zeilen entsprechend vertauscht werden, so dass eine Divison durch den führenden Koeffizienten möglich ist.

Erläuterung der Verfahren

Determinante einer 3x3 Matrix nach der Sarrus-Regel

Die Determinante der 3x3 Matrix wird folgendermaßen nach der Sarrus-Regel berechnet. Schematisch werden die Spalten der Determinante wiederholt, so dass die Haupt- und Nebendiagonalen übersichtlich dargestellt sind. Dann bildet man die Produkte der Hauptdiagonalen und addiert diese. Mit den Nebendiagonalen verfährt man ebenso. Die Differenz aus beiden ergibt die Determinante der Matrix.

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz gibt ein Verfahren zur Berechnung der Determinante an, bei dem die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickelt wird. Dabei wird die Dimension reduziert und kann schrittweise immer weiter reduziert werden bis zum Skalar.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Entwicklung nach der j-ten Spalte )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Entwicklung nach der i-ten Zeile )}$

wobei A_ij die Untermatrix von A ist, die entsteht wenn die Zeile i und die Spalte j gestrichen werden.

Beispiel für die Laplace-Entwicklung anhand einer 3x3 Matrix nach der ersten Zeile

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Das erste Element ist der Faktor a₁₁ und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Das zweite Element ist der Faktor a₁₂ und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

Das dritte Element ist der Faktor a₁₃ und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Mit den drei Elementen kann die Determinante als eine Summe von 2x2 Determinanten ausgedrückt werden.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Es ist wesentlich zu beachten, dass das Vorzeichen der Elemente alterniert.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Gauß-Verfahren

Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen der Matrix. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen die Matrix in Treppenform. Wenn die Matrix auf Diagonalform ist und die Hauptdiagonalelemente alle 1 sind ist der Vorfaktor der Wert der Determinate.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

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