icon-komplexe-Zahl Mathe Tutorial: Komplexe Zahlen

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Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Viele Rechenregeln der reellen Zahlen lassen sich auf komplexe Zahlen übertragen.

Die Theorie der analytischen Funktionen behandelt Funktionen mit einer komplexen Veränderlichen.

Die Enstehung der komplexen Zahlen geht auf das Lösen algebraischer Gleichungen zurück. Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli bis ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit i als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben.

Gaußsche-Zahlenebene

Die komplexen Zahlen sind zweidimensional und lassen sich als Vektoren in der gaußschen Zahlenebene darstellen. Auf der horizontalen Achse (Re) wird der Realteil und auf der senkrechten Achse (Im) der Imaginärteil der komplexen Zahl aufgetragen. Analog zu Vektoren kann auch die komplexe Zahl entweder in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordinaten (r, φ) ausgedrückt werden.

Gaußsche-Zahlenebene

Rechner (Kartesisch)

z = x+iy

x= y=

Rechner (Polar)

z=rcosφ+isinφ

r= φ=

Beziehungen konjugiert komplexer Zahlen

Für konjugiert komplexe Zahlen gelten die folgenden Beziehungen.

z = z wenn z reell ist;

z1+z2 = z1+z2

z1z2 = z1z2

z1z2 = z1z2

zz = x2+y2

Definitionen und Schreibweisen für komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil x und einem Imaginärteil y. Der Imaginärteil wird durch die imaginäre Einheit i gekennzeichnet.

z = x+iy

mitx,yRundi=-1

Die zu z konjugiert komplexe Zahl besteht aus einem Realteil x und dem negativen Imaginärteil y. Das entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene.

z = x-iy

Dem Betrag einer komplexe Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene die Länge des Vektors z.

z = x2+y2

Die komplexe Zahl in Polarkoordinaten.

z = rcosφ+isinφ = reiφ

mitr=z=x2+y2

undφ=atanyx

und der Eulerschen Formelcosφ+isinφ=eiφ

Rechenregeln für komplexe Zahlen

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entspricht der Addition und Subtraktion der Ortsvektoren. D.h. die real- und imaginär Komponenten werden addiert bzw. subtrahiert.

Mit z1 = x1+iy1 und z2 = x2+iy2 ist

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation erfolgt, indem die Klammern unter Berücksichtigung der Beziehung i2= -1 ausmultipliziert werden.

Mit z1 = x1+iy1 und z2 = x2+iy2 ist

Die Multiplikation komplexer Zahlen kann auch in trigonometrischer bzw. exponentieller Form erfolgen.

Mitz1 = r1cosφ+isinφ = r1eiφ

undz2 = r2cosψ+isinψ = r2eiψist

Rechner: Multiplikation komplexer Zahlen

z1 = x1+iy1

z2 = x2+iy2

x1= + i y1=

x2= + i y2=

Division komplexer Zahlen

Die Division erfolgt, indem der Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitert wird.

Mit z1 = x1+iy1 und z2 = x2+iy2 ist

Die Division komplexer Zahlen kann auch in trigonometrischer bzw. exponentieller Form erfolgen.

Mitz1 = r1cosφ+isinφ = r1eiφ

undz2 = r2cosψ+isinψ = r2eiψist

Rechner: Division komplexer Zahlen

z1 = x1+iy1

z2 = x2+iy2

x1= + i y1=

x2= + i y2=

Elementare Funktionen f(z)

Komplexe Zahl kartesisch

z=x+iy

Realteil

Re(z)=x

Imaginärteil

Im(z)=y

Konjugiert komplexe Zahl

z=x-iy

Betrag

z=x2+y2

Argument

arg(z)=φ=atanyx

Polar

z=zcosφ+isinφ

Quadrat

z2=x2-y2+ixy

Kehrwert

1z=xx2+y2+i-yx2+y2

Quadratischer Kehrwert

1z2=x2-y2x2+y22+i-2xyx2+y22

Wurzel

z=±x+x2+y22±i-x+x2+y22

Exponentialfunktion

ez=excosy+iexsiny

Logarithmus

lnz=12lnx2+y2+iatanyx

Sinus

sinz=sinxcoshy+icosxsinhy

Cosinus

cosz=cosxcoshy-isinxsinhy

Sinus Hyperbolicus

sinhz=sinhxcosy+icoshxsiny

Cosinus Hyperbolicus

coshz=coshxcosy-isinhxsiny

Tangens

tanz=sin2xcos2x+cosh2y+isinh2ycos2x+cosh2y

Potenzen komplexer Zahlen

Das Erheben einer komplexen Zahl in die n-te natürliche Potenz erfolgt nach der Formel von Moivre

mitr=z=x2+y2

undφ=atanyx

undi0=1,i1=i,i2=-1,i3=-i...

undnN

oder algebraisch nach dem Binomischen Lehrsatz

Rechner: Binomischer Satz im Komplexen

n=

Für beliebige komplexe Exponenten gilt:

zω = eωlnz

wobei zω als Hauptwert zu verstehen ist. Ist ω irrational so gibt es unendlich viele Lösungen.

Potenzen-komplexer-Zahlen