Produkt komplexer Zahlen in grafischer Darstellung

Online Multiplikation der komplexen Zahlen z1 und z2

Die Multiplikation der komplexen Zahlen wird grafisch dargestellt. Das Ergebnis der Multiplikation ist der rote Vektor. Durch Ziehen der Punkte an den Vektoren können die komplexen Zahlen verändert werden.

Seitenverhältnis:
Anzahl der Stellen =
z1 = x1 + i y1 = + i 
z2 = x2 + i y2 = + i 
Produkt

Werte­bereich der Achsen

Re-min=
Re-max=
Im-min=
Im-max=

Gaußsche Zahlenebene:

Gaußsche-Zahlenebene

Die komplexen Zahlen sind zweidimensional und lassen sich als Vektoren in der gaußschen Zahlenebene darstellen. Auf der horizontalen Achse (Re) wird der Realteil und auf der senkrechten Achse (Im) der Imaginärteil der komplexen Zahl aufgetragen. Analog zu Vektoren kann auch die komplexe Zahl entweder in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordinaten (r, φ) ausgedrückt werden.

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation erfolgt, indem die Klammern unter Berücksichtigung der Beziehung i2= -1 ausmultipliziert werden.

Mit z1 = x1 + i y1 und z2 = x2 + i y2 ist

z1 ⋅ z2 = ( x1 + i y1 ) ⋅ ( x2 + i y2 ) = x1 x2 - y1 y2 + i (x1 y2 + y1 x2)

Die Multiplikation komplexer Zahlen kann auch in trigonometrischer bzw. exponentieller Form erfolgen.

Mit z1 = r1 ( cos(φ1) + i sin(φ1) ) = r1 ei φ1 und z2 = r2 ( cos(φ2) + i sin(φ2) ) = r2 ei φ2 ist

z1 ⋅ z2 = r1 r2 ( cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2) ) = r1 r2 ei (φ1 + φ2)

dabei ist

r1 = |z1| = √(x12 + y12)

r2 = |z2| = √(x22 + y22)

tan(φ1) = y1 / x1

tan(φ2) = y2 / x2

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