Produkt komplexer Zahlen in grafischer Darstellung

Online Multiplikation der komplexen Zahlen z₁ und z₂

Die Multiplikation der komplexen Zahlen wird grafisch dargestellt. Das Ergebnis der Multiplikation ist der rote Vektor. Durch Ziehen der Punkte an den Vektoren können die komplexen Zahlen verändert werden.

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z₁ = x₁ + i y₁ = + i

z₂ = x₂ + i y₂ = + i

Produkt

Gaußsche Zahlenebene:

Die komplexen Zahlen sind zweidimensional und lassen sich als Vektoren in der gaußschen Zahlenebene darstellen. Auf der horizontalen Achse (Re) wird der Realteil und auf der senkrechten Achse (Im) der Imaginärteil der komplexen Zahl aufgetragen. Analog zu Vektoren kann auch die komplexe Zahl entweder in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordinaten (r, φ) ausgedrückt werden.

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation erfolgt, indem die Klammern unter Berücksichtigung der Beziehung i²= -1 ausmultipliziert werden.

$Mit z_{1} = x_{1} + i y_{1} und z_{2} = x_{2} + i y_{2} ist$

$z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + i y_{1}) \cdot (x_{2} + i y_{2})$ $= x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2} + i (x_{1} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot x_{2})$

Die Multiplikation komplexer Zahlen kann auch in trigonometrischer bzw. exponentieller Form erfolgen.

$Mit z_{1} = r_{1} (\cos φ + i \sin φ) = r_{1} e^{i φ}$

$und z_{2} = r_{2} (\cos ψ + i \sin ψ) = r_{2} e^{i ψ} ist$

$z_{1} \cdot z_{2}$ $= r_{1} r_{2} (\cos (φ + ψ) + i \sin (φ + ψ))$ $= r_{1} r_{2} e^{i (φ + ψ)}$

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