Online Potenzen der komplexen Zahl z

Quadratische und kubische Potenz der komplexen Zahl z

Die Potenzen und der Kehrwert der komplexen Zahl wird grafisch dargestellt. Durch Ziehen des Punktes am Vektor kann die komplexe Zahl verändert werden.

Werte­bereich der Achsen

Re-min=

Re-max=

Im-min=

Im-max=

Gaußsche Zahlenebene:

Die komplexen Zahlen sind zweidimensional und lassen sich als Vektoren in der gaußschen Zahlenebene darstellen. Auf der horizontalen Achse (Re) wird der Realteil und auf der senkrechten Achse (Im) der Imaginärteil der komplexen Zahl aufgetragen. Analog zu Vektoren kann auch die komplexe Zahl entweder in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordinaten (r, φ) ausgedrückt werden.

Potenzen komplexer Zahlen

Das Erheben einer komplexen Zahl in die n-te natürliche Potenz erfolgt nach der Formel von Moivre.

$z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )=r^n{e}^{in\phi }$

$\text{mit}r=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

$\text{und}\phi =\mathrm{atan}\frac{y}{x}$

$\text{und}{i}^0=1\text{,}{i}^1=i\text{,}{i}^2=-1\text{,}{i}^3=-i\text{...}$

$\text{und}n\in \mathbb{N}$

oder algebraisch nach dem Binomischen Lehrsatz

$$z^n={\left(x+iy\right)}^n=\sum _{k=0\text{, k gerade}}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){\left(-1\right)}^{\frac{k}{2}}{x}^{n-k}{y}^k+i\sum _{k=1\text{, k ungerade}}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){\left(-1\right)}^{\frac{k-1}{2}}{x}^{n-k}{y}^k$$

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