icon-Determinante Mathe Online: Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen.

Rechner

Die weiteren Online-Rechner berechnen die Determinaten von 3x3, 4x4 und beliebigen quadratischen Matrizen sowie die QR-Zerlegung von Matrizen.

Hier gehts zu den Online-Rechnern:

Rechenregeln für Determinanten und Matrizen

Begriffe

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist ein Vektor, der nur im Betrag aber nicht in der Richtung durch die Abbildung geändert wird. Der Faktor um den sich der Betrag ändert ist der zugehörige Eigenwert. Die Menge der Eigenvektoren zu einem Eigenwert bezeichnet man als Eigenraum. Die Menge der Eigenwerte einer Abbildung ist das Spektrum der Abbildung. Der Spektralradius ist der Eigenwert mit dem größten Betrag. Die Dimension des Eigenraums ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts. Die algebraische Vielfachheit ist durch die vielfachheit der Nullstellen des charakteristischen Polynoms definiert.

Definition

Für eine quadratische Matrix A ist jeder Vektor v ein Eigenvektor, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Av=λv

mitλCundv0

Der Faktor λ ist der Eigenwert, der zu dem Eigenvektor v gehört. Die Eigenwerte können reell oder komplex sein.

Anschauliche Interpretation

Eigenwert

Allgemein bildet eine Matrix A einen Vektor a in eine anderen Vektor b ab. Die Eigenvektoren v sind dadurch ausgezeichnet, dass sie durch die Abbildung nur um einen Faktor λ gestreckt bzw. gestaucht werden.

Zweidimensionales Beispiel

Anhand dieses Beispiels werden Eigenwert und Eigenvektor anschaulich in der Ebene erläutert.

A= 3-1 11

Diese Matrix bildet den Vektor (1,1) folgendermaßen ab.

3-1 11 1 1 = 2 2 = 2 1 1

D.h. der Vektor ist ein Eigenvektor von A, der durch die Abbildung um den Faktor 2 gestreckt wird. Damit gehört zu diesem Eigenvektor der Eigenwert 2.

Für eine anderen Vektor z.B.(2,3) gilt das nicht.

3-1 11 2 3 = 3 5

Die Matrix hat jedoch nicht nur einen Eigenvektor. Z.B ist auch der Vektor (2,2) ein Eigenvektor.

3-1 11 2 2 = 4 4 = 2 2 2

Berechnung

Die Gleichung

Av=λv

läßt sich umformen in das homogene Gleichungssystem

A-λE v=0

Das Gleichungssystem hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante verschwindet. D.h. wenn gilt

det A-λE =0

Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von A und die Gleichung die charakteristische Gleichung von A. Ist λi ein Eigenwert von A so sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung die Eigenvektoren von A zum Eigenwert λi.

Zweidimensionales Beispiel Teil 2

Im zweiten Teil des Beispiels werden Eigenwert und Eigenvektor berechnet. Zuerst wird das charakteristische Polynom ermittelt.

det A-λE =

3-1 11 -λ 10 01 =

3-λ-1 11-λ =

λ2-4λ+4

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte von A.

λ2-4λ+4=0

Also ist der Eigenwert von A:

λi=2

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung liefern die Eigenvektoren.

A-λiE v =

3-1 11 -2 10 01 v =

1-1 1-1 x y =0

Daraus ergeben sich die beiden folgende Gleichungen.

x-y=0

x-y=0

D.h. alle Vektoren vi bei denen beide Komponenten gleich sind, sind Eigenvektoren zum Eigenwert λi = 2.

vi= x x

Rechner zur Berechnung des charakteristischen Polynoms p(λ) der Matrix A

Berechnung nach dem Algorithmus von Faddejew-Leverrier.

B0= 0;   cn= 1;

repeat

 Bk= A Bk-1 + cn-k+1 I;    cn-k= - tr(A Bk) / k;

until k < Rang(A)

Dimension der Matrix N =

Anzahl der Stellen =

Eingabe der Matrixelemente: a11, a12, ...

Die eingegebene Matrix lautet:

Rechner zur Berechnung der Eigenwerte mittels der QR-Zerlegung

QR-Verfahren

repeat

 Am= QmRm;   QR-Zerlegung

 Am+1= RmQm;

until Residuum < ε

Dimension der Matrix N =

Anzahl der Stellen =

Maximale Anzahl der Iterationen =

Eingabe der Matrixelemente: a11, a12, ...

Die eingegebene Matrix lautet: