Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Begriffe:

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist ein Vektor, der nur im Betrag aber nicht in der Richtung durch die Abbildung geändert wird. Der Faktor um den sich der Betrag ändert ist der zugehörige Eigenwert. Die Menge der Eigenvektoren zu einem Eigenwert bezeichnet man als Eigenraum. Die Menge der Eigenwerte einer Abbildung ist das Spektrum der Abbildung. Der Spektralradius ist der Eigenwert mit dem größten Betrag. Die Dimension des Eigenraums ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts. Die algebraische Vielfachheit ist durch die vielfachheit der Nullstellen des charakteristischen Polynoms definiert.

Definition:

Für eine quadratische Matrix A ist jeder Vektor v ein Eigenvektor, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$Av=\lambda v$

$\text{mit}\lambda \in \mathbb{C}\text{und}v\ne 0$

Der Faktor λ ist der Eigenwert, der zu dem Eigenvektor v gehört. Die Eigenwerte können reell oder komplex sein.

Anschauliche Interpretation:

Allgemein bildet eine Matrix A einen Vektor a in eine anderen Vektor b ab. Die Eigenvektoren v sind dadurch ausgezeichnet, dass sie durch die Abbildung nur um einen Faktor λ gestreckt bzw. gestaucht werden.

Zweidimensionales Beispiel

Anhand dieses Beispiels werden Eigenwert und Eigenvektor anschaulich in der Ebene erläutert.

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

TDiese Matrix bildet den Vektor (1,1) folgendermaßen ab.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

D.h. der Vektor ist ein Eigenvektor von A, der durch die Abbildung um den Faktor 2 gestreckt wird. Damit gehört zu diesem Eigenvektor der Eigenwert 2.

Für eine anderen Vektor z.B.(2,3) gilt das nicht.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$

Die Matrix hat jedoch nicht nur einen Eigenvektor. Z.B ist auch der Vektor (2,2) ein Eigenvektor.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$

Berechnung des Eigenwerts

Die Gleichung

$Av=\lambda v$

läßt sich umformen in das homogene Gleichungssystem

$(A-\lambda E)v=0$

Das Gleichungssystem hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante verschwindet. D.h. wenn gilt

$\det (A-\lambda E)=0$

Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von A und die Gleichung die charakteristische Gleichung von A. Ist λ_i ein Eigenwert von A so sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung die Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ_i.

Zweidimensionales Beispiel Teil 2

Im zweiten Teil des Beispiels werden Eigenwert und Eigenvektor berechnet. Zuerst wird das charakteristische Polynom ermittelt.

$\det \left(A-\lambda E\right)=$

$\left(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-\mathrm{\lambda }\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-4\lambda +4$

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte von A.

${\lambda }^2-4\lambda +4=0$

Also ist der Eigenwert von A:

${\lambda }_i=2$

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung liefern die Eigenvektoren.

$\left(A-{\lambda }_{i}E\right)v=\left(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)v=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$

Daraus ergeben sich die beiden folgende Gleichungen.

$x-y=0$

$x-y=0$

D.h. alle Vektoren v_i bei denen beide Komponenten gleich sind, sind Eigenvektoren zum Eigenwert λ_i = 2.

$v_i=\left(\begin{array}{c}x\\ x\end{array}\right)$

Rechner zur Berechnung des charakteristischen Polynoms p(λ) der Matrix A

Eingabe der Matrixelemente: a₁₁, a₁₂, ...

Dimension der Matrix N =

↹#.000

Rechner zur Berechnung der Eigenwerte

Der Rechner verwendet den QR-Algorithmus, um die Eigenwerte zu approximieren. Ausgehend von einer Matrix A wird eine Folge von orthogonalen oder unitären Matrizen so bestimmt, dass die rekursive Matrixfolge so weit wie möglich gegen eine obere Dreiecksmatrix konvergiert. Da alle Transformationen in der Rekursion Ähnlichkeitstransformationen sind, haben alle Matrizen der Matrixfolge die gleichen Eigenwerte mit den gleichen Vielfachen. Wenn eine obere Dreiecksmatrix im Grenzwert von A erreicht wird, können die Eigenwerte aus den Diagonalelementen abgelesen werden.

Eingabe der Matrixelemente: a₁₁, a₁₂, ...

Dimension der Matrix N =

↹#.000

Genauigkeit bis Dezimalstelle =

Maximale Anzahl der Iterationen =

Rechner zur Berechnung der Eigenvektor-Eigenwert Identität

Der im folgenden referenzierte Rechner verwendet die QR-Zerlegung und die Eigenvektor-Eigenwertidentität, um die Eigenwerte und den Betrag der Eigenvektoren zu berechnen: Eigenvector-eigenvalue identity

Weitere Seiten zum Thema

Hier einige weitere Seiten: