Forma wierzchołka

Kalkulator do konwersji do postaci wierzchołkowej

Kalkulator określa kształt wierzchołka funkcji kwadratowej krok po kroku.

Ogólna funkcja kwadratowa

$y (x) = a x^{2} + b x + c$

jest przekształcana do postaci wierzchołkowej

$y (x) = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Wprowadź współczynniki a, b i c funkcji kwadratowej:

Konwersja do postaci wierzchołkowej z dodawaniem kwadratowym:

Wynikiem jest kształt wierzchołka:

Postać wierzchołkowa funkcji kwadratowej to:

$y (x) = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

lub jeśli funkcja kwadratowa ma postać podstawową z a=1:

$y (x) = {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Gdzie x_V i y_V są współrzędnymi x i y wierzchołka paraboli. Wierzchołek jest minimum lub maksimum funkcji, w zależności od tego, czy parabola jest skierowana w górę czy w dół.

Wierzchołek funkcji kwadratowej w p,q-Form

Wierzchołek funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

Wierzchołek paraboli

Określenie wierzchołka funkcji kwadratowej odbywa się poprzez wyprowadzenie funkcji. Warunkiem istnienia ekstremum jest zniknięcie pierwszej pochodnej funkcji. W przypadku funkcji kwadratowej jest to wystarczające do uzyskania minimum lub maksimum.

Punktem początkowym jest ogólna funkcja kwadratowa:

$y (x) = a x^{2} + b x + c$

Pochodną postaci ogólnej jest:

$y' = 2 a x + b$

Warunkiem dla wierzchołka jest to, że pochodna wynosi 0. Oznacza to, że poniższe równanie jest prawidłowe:

$2 a x + b = 0$

Rozwiązanie daje współrzędną x wierzchołka:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

Wstawienie do ogólnej funkcji kwadratowej daje współrzędną y wierzchołka:

$y_{V} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Z drugiej pochodnej funkcji kwadratowej wynika, czy wierzchołek jest maksimum czy minimum. Drugą pochodną jest:

$y'' = 2 a$

Zatem dla a > 0 wierzchołek jest wartością minimalną paraboli, a dla a < 0 wartością maksymalną.

Transformacja z postaci podstawowej do postaci wierzchołkowej

W postaci podstawowej współczynnik przed x² jest równy 1. Postać podstawowa funkcji kwadratowej o stałych współczynnikach p i q jest następująca

$y (x) = x^{2} + p x + q$

Jeśli funkcja kwadratowa ma postać podstawową, wierzchołek paraboli jest określony przez:

$x_{V} = - \frac{p}{2}$

$y_{V} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Transformacja z postaci podstawowej do postaci wierzchołkowej z rozwinięciem kwadratowym i zastosowaniem pierwszego dwumianu:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Kalkulator do konwersji z postaci podstawowej na postać wierzchołkową

Wprowadź współczynniki p i q równania kwadratowego:

Konwersja do postaci wierzchołkowej z rozwinięciem kwadratowym:

Transformacja z postaci standardowej do postaci wierzchołkowej

Standardowa postać funkcji kwadratowej o stałych współczynnikach a, b i c:

$y = a x^{2} + b x + c$

Jeśli funkcja kwadratowa ma postać standardową, jej wierzchołek jest określony przez:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

$y_{V} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Transformacja z postaci standardowej do postaci wierzchołkowej z rozwinięciem kwadratowym i zastosowaniem pierwszego dwumianu:

$a x^{2} + b x + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x - \frac{- b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Od postaci wierzchołkowej do postaci standardowej

Konwersja postaci wierzchołkowej funkcji kwadratowej do postaci standardowej.

Punktem wyjścia jest forma wierzchołka

$y = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V} =$

Rozwiązanie kwadratu daje wynik:

$a (x^{2} - 2 x x_{V} + {x_{V}}^{2}) + y_{V} =$

Mnożąc przez nawias otrzymujemy

$a x^{2} - 2 a x x_{V} + a {x_{V}}^{2} + y_{V} =$

Wstawienie wyników x_V i y_V:

$a x^{2} + 2 a x \frac{b}{2 a} + a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

Skrócenie powoduje:

$a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

Sumy znoszą się wzajemnie i otrzymujemy ogólną funkcję kwadratową:

$a x^{2} + b x + c$

Obliczanie punktów zerowych na podstawie kształtu wierzchołka

Z postaci wierzchołkowej funkcji kwadratowej łatwo jest obliczyć zera tej funkcji.

Zaczynając od formy wierzchołkowej

$y = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

warunkiem zer jest to, że funkcja jest równa zero

$0 = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

i przekształcanie zysków

${(x - x_{V})}^{2} = - \frac{y_{V}}{a}$

pierwiastek kwadratowy prowadzi do

$x - x_{V} = \pm \sqrt{- \frac{y_{V}}{a}}$

i wreszcie do zer

$x_{1,2} = x_{V} \pm \sqrt{- \frac{y_{V}}{a}}$

Więcej stron na ten temat

Oto kilka kolejnych stron:

Treść ćwiczenia z matematyki

Trygonometria

Trygonometryczny

Matryca

Iloczyn wektorowy macierzy

Ułamki

Kalkulator ułamków

Hornera

Schemat Hornera

Obliczanie korzeni

Wyciąganie korzeni

Instrument pochodny

Kalkulator pochodnych zwykłych i cząstkowych

Równania różniczkowe

Kalkulator liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu Kalkulator online dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych drugiego rzędu Kalkulator online dla układów równań różniczkowych 2x2 pierwszego rzędu