icon-Integral Mathe Tutorial: Integralrechnung

Grundintegrale

Allgemein

fxdx = fx dx = x

Potenzen

xndx = xn+1n+1 ax+bndx = ax+bn+1an+1 dxx = ln|x|

Exponential­funktionen

exdx = ex axdx = axlna

Trigonometrische Funktionen

sinxdx = -cosx cosxdx = sinx tanxdx = -ln|cosx| dxcos2x = tanx dxsin2x = -cotx

Logarithmische Funktionen

lnxdx = xlnx-x lnx2dx = xlnx2 -2xlnx+2x dxxlnx = lnlnx

Irrationale Funktionen

ax+bdx = 23aax+b3 dxax+b = 2ax+ba

Unbestimmte Integrale

Rechenregeln unbestimmter Integrale

a) Additivität Eine Summe unter dem Integral wird integriert, indem die Summanden einzeln integriert und dann summiert werden.

fx+gxdx = fxdx+gxdx

b) Faktorregel Eine konstanter Faktor a kann vor das Integral gezogen werden.

afxdx = a fxdx

c) Ist F(u) die Stammfunktion von f(u), dann gilt folgender Zusammenhang für beliebige Konstanten a und b mit a ungleich 0.

fax+bdx = 1a Fax+b+C

d) Ist f(x) differenzierbar und f(x) ungleich 0, dann gilt folgender Zusammenhang.

f xfxdx = lnfx+C

e) Partielle Integration Sind die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar, so gilt der folgende Zusammenhang.

uxvxdx = uxvx-uxvxdx

f) Substitution Ist die Funktionen f(z) stetig und z=g(x) differenzierbar, so gilt der folgende Zusammenhang.

fgxgxdx = fzdz

Beispiele

Beispiel: Linearität des Integrals (Regel a und b)

5x+2sinxdx

= 5xdx+2sinxdx

Ⅰ:

Aufgrund der Additivität können die Summanden einzeln integriert werden.

= 5xdx+2sinxdx

Ⅱ:

Die konstanten Faktoren werden vor das Integral gezogen.

= 52x2-2cosx+C

Ⅲ:

Mit den Grundintegralen folgt die Lösung.

Beispiel: Abhängigkeit von einer linearen Funktion (Regel c)

12x+3dx

fax+b = 12x+3

Ⅰ:

Die Funktion unter dem Integral ist abhängig von einer linearen Funktion.

Fu=1udu=ln|u|+C

Ⅱ:

Bildung der Stammfunktion von f mit der Substitution u = ax + b.

= 12ln|2x+3|+C

Ⅲ:

Einsetzen gemäß Regel c ergibt die Lösung des Integrals.

Beispiel: f(x) im Nenner und die Ableitung von f(x) im Zähler (Regel d)

cosxsinxdx

ddxsinx = cosx

Ⅰ:

D.h. im Zähler steht die Ableitung des Nenners.

= ln|sinx|+C

Ⅱ:

Einsetzen gemäß Regel d ergibt die Lösung des Integrals.

Beispiel: Partielle Integration (Regel e)

x3lnxdx

x3dx = x44

Ⅰ:

Sei der erste Faktor v', dann ist das Integral des ersten Faktors v.

ddxlnx = 1x

Ⅱ:

Die Ableitung des zweiten Faktors ergibt u'.

= x44lnx-14x3dx

Ⅲ:

Einsetzen gemäß Regel e.

= x44lnx-14x44+C

Ⅳ:

Mit dem Integral aus I folgt die Lösung des Integrals.

= x44lnx-14+C

Ⅴ:

Diese läßt sich mittels Ausklammern auch kürzer schreiben.

Beispiel: Integration mittels Substitution (Regel f)

xdxa2+x2

gx = a2+x2

Ⅰ:

Substitution des Nenners als Funktion g(x).

dgdx = xa2+x2 = xg

Ⅱ:

Die Ableitung von g(x) nach dx gibt den Zusammenhang der Differentiale.

xdx = gdg

Ⅲ:

Aufgelöst kann der Ausdruck in das Integral eingesetzt werden.

= gdgg = dg = g+C

Ⅳ:

Einsetzen und integrieren.

= g+C = a2+x2+C

Ⅴ:

Rückführung der Substitution ergibt die Lösung.

Bestimmte Integrale

Rechenregeln bestimmter Integrale

Die Existentz der Integrale wird jeweils vorausgesetzt. Es sind a,b,c ∈ ℜ Konstanten.

a) Vertauschung der Integrationsgrenzen.

abfxdx = -bafxdx

a1) Definition

aafxdx = 0

b) Faktorregel Eine konstanter Faktor a kann vor das Integral gezogen werden.

abafxdx = a abfxdx

c) Summenregel Eine Summe unter dem bestimmten Integral kann mittels der Summanden integriert werden.

abfx+gxdx = abfxdx+abgxdx

d) Zerlegung des bestimmten Integrals in Teilintegrale.

abfxdx = acfxdx+cbfxdx

e) Mittelwertsatz Ist f integrierbar und gilt m ≤ f ≤ M, so existiert mindestens eine Zahl μ mit m ≤ μ ≤ M und es gilt der folgende Zusammenhang.

abfxdx = μb-a

f) Veralgemeinerter Mittelwertsatz Sind f und g integrierbar und gilt m ≤ f ≤ M und entweder immer g ≥ 0 oder g ≤ 0, so existiert mindestens eine Zahl μ mit m ≤ μ ≤ M und es gilt der folgende Zusammenhang.

abfxgxdx = μabgxdx

g) Zweiter Mittelwertsatz Ist f monoton und beschränkt und g integrierbar, so existiert mindestens eine Zahl μ für die der folgende Zusammenhang gilt.

abfxgxdx = faaμgxdx+fbμbgxdx

h) Wenn eine Funktion f stetig und differenzierbar ist, so gilt

Fx = axftdt

mit Fx = fx

i) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ist die Stammfunktion F von f bekannt, so wird das bestimmte Integral von f folgendermaßen berechnet

abfxdx = Fb-Fa

j) Partielle Integration Sind die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar, so gilt der folgende Zusammenhang.

abuxvxdx = uxvxab-abuxvxdx

k) Substitution für bestimmte Integrale.

abfgxgxdx = gagbfzdz