Integralrechnung

Rechenregeln unbestimmter Integrale

a) Additivität Eine Summe unter dem Integral wird integriert, indem die Summanden einzeln integriert und dann summiert werden.

$\int (f (x) + g (x)) dx = \int f (x) dx + \int g (x) dx$

b) Faktorregel Eine konstanter Faktor a kann vor das Integral gezogen werden.

$\int a f (x) dx = a \int f (x) dx$

c) Ist F(u) die Stammfunktion von f(u), dann gilt folgender Zusammenhang für beliebige Konstanten a und b mit a ungleich 0.

$\int f (a x + b) dx = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

d) Ist f(x) differenzierbar und f(x) ungleich 0, dann gilt folgender Zusammenhang.

$\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} dx = \ln | f (x) | + C$

e) Partielle Integration Sind die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar, so gilt der folgende Zusammenhang.

$\int (u (x) v^{'} (x)) dx = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) dx$

f) Substitution Ist die Funktionen f(z) stetig und z=g(x) differenzierbar, so gilt der folgende Zusammenhang.

$\int (f (g (x)) g^{'} (x)) dx = \int f (z) dz$

Grundintegrale

Allgemein

$\begin{array}{l} \int f' (x) dx & = & f (x) \\ \int dx & = & x \end{array}$

Potenzen

$\begin{array}{l} \int x^{n} dx & = & \frac{x^{n+1}}{n+1} \\ \int {(a x + b)}^{n} dx & = & \frac{{(a x + b)}^{n+1}}{a (n + 1)} \\ \int \frac{dx}{x} & = & \ln | x | \end{array}$

Exponentialfunktionen

$\begin{array}{l} \int e^{x} dx & = & e^{x} \\ \int a^{x} dx & = & \frac{a^{x}}{\ln a} \end{array}$

Trigonometrische Funktionen

$\begin{array}{l} \int \sin x dx & = & - \cos x \\ \int \cos x dx & = & \sin x \\ \int \tan x dx & = & - \ln | \cos x | \\ \int \frac{dx}{\cos^{2} x} & = & \tan x \\ \int \frac{dx}{\sin^{2} x} & = & - \cot x \end{array}$

Logarithmische Funktionen

$\begin{array}{l} \int \ln x dx & = & x \ln x - x \\ \int {(\ln x)}^{2} dx & = & x {(\ln x)}^{2} - 2 x \ln x + 2 x \\ \int \frac{dx}{x \ln x} & = & \ln (\ln x) \end{array}$

Irrationale Funktionen

$\begin{array}{l} \int \sqrt{a x + b} dx & = & \frac{2}{3 a} \sqrt{{(a x + b)}^{3}} \\ \int \frac{dx}{\sqrt{a x + b}} & = & \frac{2 \sqrt{a x + b}}{a} \end{array}$

Beispiele

Beispiel: Linearität des Integrals (Regel a und b)

$\int (5 x + 2 \sin (x)) dx$

$= \int 5 x dx + \int 2 \sin (x) dx$

Aufgrund der Additivität können die Summanden einzeln integriert werden.

$= 5 \int x dx + 2 \int \sin (x) dx$

Die konstanten Faktoren werden vor das Integral gezogen.

$= \frac{5}{2} x^{2} - 2 \cos (x) + C$

Mit den Grundintegralen folgt die Lösung.

Beispiel: Abhängigkeit von einer linearen Funktion (Regel c)

$\int \frac{1}{2 x + 3} dx$

$f (a x + b) = \frac{1}{2 x + 3}$

Die Funktion unter dem Integral ist abhängig von einer linearen Funktion.

$F (u) = \int \frac{1}{u} du = \ln | u | + C$

Bildung der Stammfunktion von f mit der Substitution u = ax + b.

$= \frac{1}{2} \ln | 2 x + 3 | + C$

Einsetzen gemäß Regel c ergibt die Lösung des Integrals.

Beispiel: f(x) im Nenner und die Ableitung von f(x) im Zähler (Regel d)

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} dx$

$\frac{d}{dx} \sin (x) = \cos (x)$

D.h. im Zähler steht die Ableitung des Nenners.

$= \ln | \sin (x) | + C$

Einsetzen gemäß Regel d ergibt die Lösung des Integrals.

Beispiel: Partielle Integration (Regel e)

$\int x^{3} \ln (x) dx$

$\int x^{3} dx = \frac{x^{4}}{4}$

Sei der erste Faktor v', dann ist das Integral des ersten Faktors v.

$\frac{d}{dx} \ln (x) = \frac{1}{x}$

Die Ableitung des zweiten Faktors ergibt u'.

$= \frac{x^{4}}{4} \ln (x) - \frac{1}{4} \int x^{3} dx$

Einsetzen gemäß Regel e.

$= \frac{x^{4}}{4} \ln (x) - \frac{1}{4} \frac{x^{4}}{4} + C$

Mit dem Integral aus I folgt die Lösung des Integrals.

$= \frac{x^{4}}{4} (\ln (x) - \frac{1}{4}) + C$

Diese läßt sich mittels Ausklammern auch kürzer schreiben.

Beispiel: Integration mittels Substitution (Regel f)

$\int \frac{x dx}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

$g (x) = \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

Substitution des Nenners als Funktion g(x).

$\frac{dg}{dx} = \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{x}{g}$

Die Ableitung von g(x) nach dx gibt den Zusammenhang der Differentiale.

$x dx = g dg$

Aufgelöst kann der Ausdruck in das Integral eingesetzt werden.

$= \int \frac{g dg}{g} = \int dg = g + C$

Einsetzen und integrieren.

$= g + C = \sqrt{a^{2} + x^{2}} + C$

Rückführung der Substitution ergibt die Lösung.

Rechenregeln bestimmter Integrale

Die Existentz der Integrale wird jeweils vorausgesetzt. Es sind a,b,c ∈ ℜ Konstanten.

a) Vertauschung der Integrationsgrenzen.

$\int_{a}^{b} f (x) dx = - \int_{b}^{a} f (x) dx$

a1) Definition

$\int_{a}^{a} f (x) dx = 0$

b) Faktorregel Eine konstanter Faktor a kann vor das Integral gezogen werden.

$\int_{a}^{b} a f (x) dx = a \int_{a}^{b} f (x) dx$

c) Summenregel Eine Summe unter dem bestimmten Integral kann mittels der Summanden integriert werden.

$\int_{a}^{b} f (x) + g (x) dx = \int_{a}^{b} f (x) dx + \int_{a}^{b} g (x) dx$

d) Zerlegung des bestimmten Integrals in Teilintegrale.

$\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx$

e) Mittelwertsatz Ist f integrierbar und gilt m ≤ f ≤ M, so existiert mindestens eine Zahl μ mit m ≤ μ ≤ M und es gilt der folgende Zusammenhang.

$\int_{a}^{b} f (x) dx = μ (b - a)$

f) Veralgemeinerter Mittelwertsatz Sind f und g integrierbar und gilt m ≤ f ≤ M und entweder immer g ≥ 0 oder g ≤ 0, so existiert mindestens eine Zahl μ mit m ≤ μ ≤ M und es gilt der folgende Zusammenhang.

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) dx = μ \int_{a}^{b} g (x) dx$

g) Zweiter Mittelwertsatz Ist f monoton und beschränkt und g integrierbar, so existiert mindestens eine Zahl μ für die der folgende Zusammenhang gilt.

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) dx = f (a) \int_{a}^{μ} g (x) dx + f (b) \int_{μ}^{b} g (x) dx$

h) Wenn eine Funktion f stetig und differenzierbar ist, so gilt

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) dt$

mit $F' (x) = f (x)$

i) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ist die Stammfunktion F von f bekannt, so wird das bestimmte Integral von f folgendermaßen berechnet

$\int_{a}^{b} f (x) dx = F (b) - F (a)$

j) Partielle Integration Sind die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar, so gilt der folgende Zusammenhang.

$\int_{a}^{b} (u (x) v^{'} (x)) dx = {[u (x) v (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) dx$

k) Substitution für bestimmte Integrale.

$\int_{a}^{b} (f (g (x)) g^{'} (x)) dx = \int_{g (a)}^{g (b)} f (z) dz$