icon-Dgl Mathe Tutorial: Online-Rechner für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung.

y′′ + p(x) y′ + q(x) y = F(x)

p(x) =

Linie:

cl

ok

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

π

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln

log10

asin

acos

atan

x2

√x

xy

|x|

sinh

cosh

q(x) =

Linie:

cl

ok

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

π

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln

log10

asin

acos

atan

x2

√x

xy

|x|

sinh

cosh

F(x) =

Linie:

cl

ok

Pos1

Ende

7

8

9

/

x

4

5

6

*

π

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln

log10

asin

acos

atan

x2

√x

xy

|x|

sinh

cosh

Schrittweiten

Richtungsfeld:
Numerik:
Methode

Wertebereich der Achsen

x-min= x-max=
y-min= y-max=

Wertebereich der Parameter

a-min= a-max=
b-min= b-max=
c-min= c-max=

Aktueller Wert der Anfangswerte

x0=
y0= y′0=

Aktueller Wert der Parameter

a=
b=
c=

Dgl

Modelle

Online Dgl Rechner

Numerische Lösung der Differenzialgleichung 2. Ordnung

Lösung im Zustandsraum (Phasenraum)

Die Lösung der Differentialgleichung 2.Ordnung wird numerisch berechnet. Das Verfahren kann gewählt werden. Es stehen drei Runge-Kutta-Verfahren zur Verfügung: Heun, Euler und Runge-Kutta 4.Ordnung. Die Anfangswerte für y0 und y′0 können durch Ziehen des roten und blauen Punktes im ersten Diagramm variiert werden. Der Wert für x0 kann rechts im Numerikfeld eingestellt werden. In den Eingabefeldern für die Funktionen p, q und F können bis zu drei Parameter a, b und c verwendet werden die mittels der Slider in der oberen Grafik variiert werden können. Im Phasenraumdiagramm werden die Lösungen y1 und y2 des zugehörigen Differenzialgleichungssystems 1.Ordnung aufgetragen. Die Anzahl der berechneten Lösungen im Phasenraumdiagramm zu unterschiedlichen Anfangswerten kann im Numerikfeld unter Schrittweiten Richtungsfeld eingestellt werden. Im Phasenraumdiagramm wird y2 auf der vertikalen Achse über y1 auf der horizontalen Achse aufgetragen.

Umformung der Differentialgleichungen 2.Ordnung in ein System 1.Ordnung

Substitution:

y1 = y

y2 = y′

Damit lautet das zugehörige Differentialgleichungssystem 1.Ordnung folgendermaßen:

y1′ = y2

y2′ = F(x) - p(x) y2 - q(x) y1

Verwendbare Ausdrücke in der Definition der Funktionen p, q und F

Konstanten

NameBeschreibung
LN2Natürlicher Logarithmus von 2
LN10Natürlicher Logarithmus von 10
LOG2EBasis 2 Logarithmus von e
LOG10EBasis 10 Logarithmus von e
PIKreiszahl Pi
SQRT1_2Quadratwurzel von 1/2
SQRT2Quadratwurzel von 2

Trigonometrische Funktionen

FunktionBeschreibung
sin(x)Sinus
cos(x)Cosinus
tan(x)Tangens
asin(x)Arcussinus
acos(x)Arcuscosinus
atan(x)Arcustangens
atan2(y, x)Arcustangens von x/y
cosh(x)Cosinus hyperbolicus
sinh(x)Sinus hyperbolicus

Logarithmen und Exponenten

FunktionBeschreibung
pow(a,b)a hoch b
sqrt(x)Quadratwurzel
exp(x)e-Funktion
log(x), ln(x)Natürlicher Logarithmus
log(x, b)Logarithmus zur Basis b
log2(x), lb(x)Logarithmus zur Basis 2
log10(x), ld(x)Logarithmus zur Basis 10

Weitere Funktionen

FunktionBeschreibung
ceil(x)Kleinste ganze Zahl n mit n > x.
abs(x)Betrag
max(a, b, c, ...)Maximum
min(a, b, c, ...)Minimum
random()Zufallszahl
round(v)Rundung zur nächsten ganzen Zahl
floor(x)Größte ganze Zahl n mit n < x.
factorial(n)Fakultät
trunc(v, p = 0)Truncate
V(s)Wert des Sliders