Rechner für allgemeine und explizite Differential­gleichungen 2.Ordnung

Die allgemeine DGL zweiter Ordnung ist folgendermaßen gegeben:

DGL:  y′′ = f(x, y, y′)

mit den Anfangswerten

  y(x0) = y0   and   y′(x0) = y′0

Numerische Lösung des Anfangswert­problems einer expliziten Differential­gleichung zweiter Ordnung

Die Lösung der Differential­gleichung wird numerisch berechnet. Das Verfahren kann gewählt werden. Es stehen drei Runge-Kutta-Verfahren zur Verfügung: Heun, Euler und rk4. Der Anfangswert kann durch Ziehen des roten Punktes auf der Lösungskurve variiert werden. Im Eingabefeld für f(x,y,y′) können bis zu drei Parameter a, b und c verwendet werden die mittels der Slider in der Grafik variiert werden können. Der Anfangswert y0 kann durch Ziehen des Punktes variiert werden. Der Anfangswert y′0 kann durch Ziehen des Punktes auf dem Halbkreis variiert werden. Im Funktions­eingabefeld können die drei Parametern a, b und c verwendet werden die dann mittels der Slider in der Grafik variiert werden können. Das zweite Diagramm stellt die Lösung der Differential­gleichung und das Richtungs­feld im Phasen­raum dar. Durch Ziehen des Anfangs­punktes können die Anfangswerte geändert werden.

Seiten­verhältnis:
Schritte:
Methode:
ODE y:

Anfangs­werte

x0=
y0=
y′0=

Werte der Parameter

a=
b=
c=

Werte­bereich der Achsen

x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Werte­bereich Parameter

a-min=
b-min=
c-min=

Werte­bereich Parameter

a-max=
b-max=
c-max=

Lösung im Phasenraum

Verschieben des Startpunktes ändert die Anfangswerte. Die Gittervektoren zeigen die Anfangsrichtung wenn die Anfangswerte an diesem Ort sind.

Seiten­verhältnis:
Gitter­punkte:
Skalierung=
Funktion:
Gitter­vektoren:

Werte­bereich der Achsen

y1-min=
y1-max=
y2-min=
y2-max=

f(x, y, ys) =

cl
ok
Pos1
End
7
8
9
/
x
y
y′
4
5
6
*
a
b
c
1
2
3
-
π
(
)
0
.
+
sin
cos
tan
ex
ln
xa
a/x
^
asin
acos
atan
x2
√x
ax
a/(x+b)
|x|
sinh
cosh
a⋅x+c / b⋅x+c
a+x / b+x
x2-a2/ x2+b2
a / x+b
1+√x / 1-√y
exsin(x)cos(x)
x+a
ea⋅x
a⋅x2+b⋅x+c
FunktionBeschreibung
sin(x)Sinus
cos(x)Cosinus
tan(x)Tangens
asin(x)Arcussinus
acos(x)Arcuscosinus
atan(x)Arcustangens
atan2(y, x)Arcustangens von y/x
cosh(x)Cosinus hyperbolicus
sinh(x)Sinus hyperbolicus
pow(a, b)Potenz ab
sqrt(x)Quadratwurzel
exp(x)e-Funktion
log(x), ln(x)Natürlicher Logarithmus
log(x, b)Logarithmus zur Basis b
log2(x), lb(x)Logarithmus zur Basis 2
log10(x), ld(x)Logarithmus zur Basis 10
mehr ...

Umformung

Mittels Substitution kann die Differentialgleichung 2.Ordnung in ein System 1.Ordnung umgeformt werden.

Substitution:

y1 = y

y2 = y′

Damit lautet das zugehörige Differentialgleichungssystem 1.Ordnung folgendermaßen:

y1′ = y2

y2′ = f(x, y1, y2)

Screenshot der Abbildungen

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