Rechner für allgemeine und explizite Differentialgleichungen 2.Ordnung

Die allgemeine DGL zweiter Ordnung ist folgendermaßen gegeben:

DGL:  y′′ = f(x, y, y′)

mit den Anfangswerten

  y(x0) = y0   and   y′(x0) = y′0

Numerische Lösung des Anfangswertproblems einer expliziten Differentialgleichung zweiter Ordnung

Die Lösung der Differentialgleichung wird numerisch berechnet. Das Verfahren kann gewählt werden. Es stehen drei Runge-Kutta-Verfahren zur Verfügung: Heun, Euler und rk4. Der Anfangswert kann durch Ziehen des roten Punktes auf der Lösungskurve variiert werden. Im Eingabefeld für f(x,y,y′) können bis zu drei Parameter a, b und c verwendet werden die mittels der Slider in der Grafik variiert werden können. Der Anfangswert y0 kann durch Ziehen des Punktes variiert werden. Der Anfangswert y′0 kann durch Ziehen des Punktes auf dem Halbkreis variiert werden. Im Funktionseingabefeld können die drei Parametern a, b und c verwendet werden die dann mittels der Slider in der Grafik variiert werden können. Das zweite Diagramm stellt die Lösung der Differentialgleichung und das Richtungsfeld im Phasenraum dar. Durch Ziehen des Anfangspunktes können die Anfangswerte geändert werden.

Seiten­verhältnis:
Schritte:
Methode:
ODE y:

Anfangs­werte

x0=
y0=
y′0=

Werte der Parameter

a=
b=
c=

Werte­bereich der Achsen

x-min=
x-max=
y-min=
y-max=

Werte­bereich der Parameter

a-min=
a-max=
b-min=
b-max=
c-min=
c-max=

Lösung im Phasenraum

Verschieben des Startpunktes ändert die Anfangswerte. Die Gittervektoren zeigen die Anfangsrichtung wenn die Anfangswerte an diesem Ort sind.

Seiten­verhältnis:
Gitter­punkte:
Funktion:
Gitter­vektoren:
Skalierung=

Werte­bereich der Achsen

y1-min=
y1-max=
y2-min=
y2-max=
f(x, y, y′) = f(x, y, ys) =

cl

ok

Pos1

End

7

8

9

/

x

y

y′

4

5

6

*

π

(

)

1

2

3

-

a

b

c

0

.

+

sin

cos

tan

ex

ln

log10

asin

acos

atan

x2

√x

xy

|x|

sinh

cosh

Umformung

Mittels Substitution kann die Differentialgleichungen 2.Ordnung in ein System 1.Ordnung umgeformt werden.

Substitution:

y1 = y

y2 = y′

Damit lautet das zugehörige Differentialgleichungssystem 1.Ordnung folgendermaßen:

y1′ = y2

y2′ = F(x) - p(x) y2 - q(x) y1

Verwendbare Ausdrücke in der Definition der Funktionen p, q und F

Konstanten

NameBeschreibung
LN2Natürlicher Logarithmus von 2
LN10Natürlicher Logarithmus von 10
LOG2EBasis 2 Logarithmus von e
LOG10EBasis 10 Logarithmus von e
PIKreiszahl Pi
SQRT1_2Quadratwurzel von 1/2
SQRT2Quadratwurzel von 2

Trigonometrische Funktionen

FunktionBeschreibung
sin(x)Sinus
cos(x)Cosinus
tan(x)Tangens
asin(x)Arcussinus
acos(x)Arcuscosinus
atan(x)Arcustangens
atan2(y, x)Arcustangens von x/y
cosh(x)Cosinus hyperbolicus
sinh(x)Sinus hyperbolicus

Logarithmen und Exponenten

FunktionBeschreibung
pow(a,b)a hoch b
sqrt(x)Quadratwurzel
exp(x)e-Funktion
log(x), ln(x)Natürlicher Logarithmus
log(x, b)Logarithmus zur Basis b
log2(x), lb(x)Logarithmus zur Basis 2
log10(x), ld(x)Logarithmus zur Basis 10

Weitere Funktionen

FunktionBeschreibung
ceil(x)Kleinste ganze Zahl n mit n > x.
abs(x)Betrag
max(a, b, c, ...)Maximum
min(a, b, c, ...)Minimum
random()Zufallszahl
round(v)Rundung zur nächsten ganzen Zahl
floor(x)Größte ganze Zahl n mit n < x.
factorial(n)Fakultät
trunc(v, p = 0)Truncate
V(s)Wert des Sliders

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