Die allgemeine Lösung der linearen Dgl erster Ordnung ist:
Für b = 0 liegt die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten vor.
Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Umformung der Gleichung
Division durch y
Anwendung der Kettenregel
Integration
Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit der unbestimmten Konstanten C
Variation der Konstanten:
Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen kann aus der homogenen gewonnen werden. Allgemein ist die Lösung der inhomogenen Gleichung gegeben durch die Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Die spezielle Lösung kann ermittelt werden mit dem Verfahren der Variation der Konstanten. Dabei wird die Konstante C der homogenen Lösung angenommen als Funktion von x und die homogene Lösung in die inhomogene Gleichung eingesetzt. C(x) wird dann so bestimmt, dass die Gleichung erfüllt ist.
Ableitung der homogenen Lösung mit C als Funktion von x
Einsetzen in die inhomogene Gleichung
Durch Umformung erhält man eine Gleichung zur Bestimmung von C
Integration liefert C(x)
Einsetzen von C(x) in yh liefert eine spezielle Lösung ys
Das ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Der Rechner löst numerisch das Anfangswertproblem für y'+ay=b mit den Anfangswerten x0, y0
Lösung des Anfangswertproblems der Differentialgleichung:
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