Rechner Differentialgleichung erster Ordnung

Differentialgleichung y'+ay=ce^bx

Für a=b=c=1 folgt y'+y=e^x

$y^{'} (x) + a y (x) = c e^{b x}$

Die allgemeine Lösung der Dgl erster Ordnung ist:

$y (x) = \frac{c e^{b x}}{a + b} + k e^{- a x}$

Lösung der Dgl: y'+ay=ce^bx

Im ersten Schritt wird die homogene Gleichung gelöst.

$y' + a y = 0$

Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$y' = - a y$

Umformung der Gleichung

$\frac{y'}{y} = - a$

Division durch y

$(\ln y)' = - a$

Anwendung der Kettenregel

$\ln y = - a \int dx = - a x + \tilde{k}$

Integration

$y_{h} = k e^{- a x}$

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit der unbestimmten Konstanten C

Variation der Konstanten:

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichungen kann aus der homogenen gewonnen werden. Allgemein ist die Lösung der inhomogenen Gleichung gegeben durch die Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Die spezielle Lösung kann ermittelt werden mit dem Verfahren der Variation der Konstanten. Dabei wird die Konstante C der homogenen Lösung angenommen als Funktion von x und die homogene Lösung in die inhomogene Gleichung eingesetzt. C(x) wird dann so bestimmt, dass die Gleichung erfüllt ist.

$y_{h}^{'} = k' e^{- a x} - a k e^{- a x}$

Ableitung der homogenen Lösung mit k als Funktion von x

$k' e^{- a x} - a k e^{- a x}$ $+ a k e^{- a x}$ $= c e^{b x}$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung

$k' = c e^{(a + b) x}$

Durch Umformung erhält man eine Gleichung zur Bestimmung von C

$k = \frac{c}{a + b} e^{(a + b) x}$

Integration liefert k(x)

$y_{s} = \frac{c}{a + b} e^{b x}$

Einsetzen von k(x) in y_h liefert eine spezielle Lösung y_s

$y = y_{s} + y_{h} = \frac{c}{a + b} e^{b x} + k e^{- a x}$

Das ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Rechner für das Anfangswertproblem von y'+ay=ce^bx

Der Rechner löst numerisch das Anfangswertproblem für y'+ay=ce^bx mit den Anfangswerten x₀, y₀

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Gitterpunkte:

Skalierung:

Funktion:

Gitter:

Lösung des Anfangswertproblems der Differentialgleichung:

Screenshot der Abbildungen

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